Obraz przestrzeni, zgodny z tym, jaki tworzy oko ludzkie, jest przedstawiany w malarstwie lub rysunku za pomocą zasad perspektywy. Dzięki temu sposobowi płaskiego odwzorowania jesteśmy w stanie wyobrazić sobie rzeczywisty kształt i wzajemne położenie przedstawianych obiektów przestrzennych.

R1ICB3nMRPof91

Trzy obrazy przedstawiające widoki ulicy z widoczną perspektywą liniową. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Takie kompleksowe podejście do związków między obiektami w przestrzeni nie będzie nam potrzebne. W kilku kolejnych rozdziałach będziemy badać jedynie wybrane własności pewnych figur geometrycznych umieszczonych w przestrzeni trójwymiarowej.

W przedstawionych przykładach będziemy się starali przeprowadzić rozumowanie stosowne do zadanej sytuacji przestrzennej.
Wprowadzimy też niezbędne definicje, a kluczowe zależności między omawianymi obiektami podamy jako twierdzenia.

Związki miarowe w figurach przestrzennych będziemy analizować za pomocą rysunków przedstawionych na płaszczyźnie. Przyjmujemy znaną i stosowaną w praktyce szkolnej umowę, że modele figur przestrzennych (które inaczej nazywamy bryłami) będziemy odwzorowywać na płaszczyźnie według zasad rzutu równoległego.
W ten sposób figury równoległe do kartki będą przystające do ich obrazów narysowanych na kartce, a figury nierównoległe do kartki zmienią kształt.
Poniżej przedstawiony jest model sześcianu $ABCDEFGH$ narysowany według powyższych zasad.

R1Hbu4sRY5M3U1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jego ściany $ABEF$ i $CDHG$ leżą w płaszczyźnie równoległej do kartki, więc są narysowane jako kwadraty, a w przypadku pozostałych ścian narysowane są równoległoboki.

Punkty i proste w przestrzeni

W poniższych przykładach będziemy ilustrowali płaszczyznę w przestrzeni, prezentując jej wybraną część, istotną dla prezentowanych rozważań. Zazwyczaj będzie to prostokąt wycięty z tej płaszczyzny.
Na rysunku przedstawiona jest płaszczyzna $p_{1}$ i leżące w niej dwa punkty $A$ i $B$ .

Przykład 1

Rozpatrzmy prostą $AB$ na płaszczyźnie $p_{1}$ .

RoOWN5zhU8kH11

Rysunek prostej AB na płaszczyźnie p indeks dolny 1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że oprócz płaszczyzny $p_{1}$ są jeszcze inne, w których leży prosta $AB$ .

RbEBlfEh41jkt1

Rysunek czterech płaszczyzn przecinających się wzdłuż prostej AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozpatrzmy teraz płaszczyznę $p_{2}$ różną od $p_{1}$ , w której leży punkt $A$ , ale nie leży w niej punkt $B$ .
Wtedy poza punktem $A$ nie ma na prostej $AB$ takiego punktu, który leży też w płaszczyźnie $p_{2}$ .
Natomiast jeżeli punkt $C$ leżący w płaszczyźnie $p_{1}$ leży również w płaszczyźnie $p_{2}$ , to wszystkie punkty prostej $AC$ leżą zarówno w płaszczyźnie $p_{1}$ , jak i w płaszczyźnie $p_{2}$ .

R1dSMUkeWQiPf1

Rysunek przecinających się płaszczyzn, płaszczyzny p indeks dolny 1, na której leżą punkty A, B, C oraz płaszczyzny p indeks dolny 2, na której leżą punkty A, C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że:

$p_{1}$ jest jedyną płaszczyzną, do której należą wszystkie trzy punkty $A, B$ i $C$ ,
$p_{1}$ jest jedyną płaszczyzną, do której należy prosta $AB$ oraz punkt $C$ ,
$p_{1}$ jest jedyną płaszczyzną, do której należą proste $AB$ i $AC$ .

Uogólniając to spostrzeżenie, stwierdzimy, że płaszczyzna jest wyznaczona jednoznacznie przez:

trzy różne punkty niewspółliniowe (zatem stolik na trzech nogach postawiony na podłodze jest stabilny - nie będzie się chwiał),
prostą i punkt, który do niej nie należy,
dwie proste przecinające się.

Dwie płaszczyzny

o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Twierdzenie: o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Jeżeli dwie różne płaszczyzny $p_{1}$ i $p_{2}$ mają wspólne dwa różne punkty $A$ i $B$ , to prosta $AB$ leży zarówno w płaszczyźnie $p_{1}$ , jak i w płaszczyźnie $p_{2}$ . Mówimy wtedy, że prosta $AB$ jest krawędzią przecięcia tych płaszczyzn.
W przestrzeni istnieją również pary płaszczyzn, które nie mają punktów wspólnych.

Różne płaszczyzny równoległe

Definicja: Różne płaszczyzny równoległe

Dwie różne płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych, nazywamy płaszczyznami równoległymi.

R1FB9b99j3Ufm1

Rysunek dwóch płaszczyzn równoległych: p indeks dolny 1 i p indeks dolny 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Możliwe są zatem trzy przypadki, opisujące wzajemne położenie dwóch płaszczyzn:

dwie płaszczyzny pokrywają się (każdy punkt jednej płaszczyzny należy również do drugiej płaszczyzny),
dwie płaszczyzny przecinają się (ich częścią wspólną jest wtedy prosta),
dwie płaszczyzny nie mają punktów wspólnych (są równoległe).

Uwaga. Rozpatrzmy dwie płaszczyzny równoległe $p_{1}$ i $p_{2}$ oraz płaszczyznę $p_{3}$ , która nie jest do nich równoległa. Wówczas płaszczyzna $p_{3}$ przecina każdą z płaszczyzn $p_{1}$ oraz $p_{2}$ wzdłuż prostej $-$ odpowiednio $k$ lub $l$ .

R1BMngCnptpN91

Rysunek dwóch płaszczyzn równoległych: p indeks dolny 1 i p indeks dolny 2. Płaszczyzny te przecina płaszczyzna p indeks dolny 3 wzdłuż prostych k i l. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Te proste leżą w jednej płaszczyźnie $p_{3}$ , ale nie mają punktów wspólnych, ponieważ leżą w płaszczyznach równoległych $p_{1}$ oraz $p_{2}$ . Oznacza to, że proste $k$ i $l$ są także równoległe.

Z drugiej strony: jeżeli w każdej z dwóch płaszczyzn równoległych $p_{1}$ oraz $p_{2}$ wybierzemy proste równoległe odpowiednio $k$ i $l$ , to przez te proste przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Zatem płaszczyzna jest wyznaczona jednoznacznie również przez dwie proste równoległe.

iRUfNwnOKO_d5e264

Prosta i płaszczyzna

prosta równoległa do płaszczyzny

Definicja: prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie ma z tą płaszczyzną punktów wspólnych, jest równoległa do tej płaszczyzny.

R1HvpnzinZShB1

Rysunek płaszczyzny p i prostej k równoległej do tej płaszczyzny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uwaga. Przyjmujemy, że każda prosta leżąca w płaszczyźnie jest także równoległa do tej płaszczyzny (jak np. prosta $AB$ z poprzedniego przykładu, która leży w płaszczyźnie $p_{1}$ ).

prosta przebijająca płaszczyznę

Definicja: prosta przebijająca płaszczyznę

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie jest do tej płaszczyzny równoległa, ma dokładnie jeden punkt wspólny z tą płaszczyzną. Mówimy, że prosta przebija płaszczyznę w tym punkcie.

RCtyi9tshgh3i1

Rysunek płaszczyzny p i prostej k, która przebija płaszczyznę w punkcie A. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Możliwe są zatem trzy przypadki, opisujące wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:

prosta leży na płaszczyźnie (każdy punkt prostej jest również punktem płaszczyzny),
prosta przebija płaszczyznę (prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną),
prosta jest równoległa do płaszczyzny (prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych).

Przykład 2

Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup trójkątny $ABCDEF$ o podstawach $ABC$ i $DEF$ .

Rozpatrzmy płaszczyznę $p_{1}$ , w której leży podstawa $ABC$ . Prosta $AB$ leży w tej płaszczyźnie, prosta $DE$ jest do niej równoległa, a prosta $DC$ przebija płaszczyznę $p_{1}$ w punkcie $C$ .
R10k6zvXDuusF1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rozpatrzmy płaszczyznę $p_{2}$ , w której leży ściana boczna $BCFE$ . Prosta $FC$ leży w tej płaszczyźnie, prosta $DA$ jest do niej równoległa, a prosta $DB$ przebija płaszczyznę $p_{2}$ w punkcie $B$ .
R18Zn1QO0I0Ka1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rozpatrzmy płaszczyznę $p_{3}$ , w której leżą punkty $A, B$ oraz $F$ . Trójkąt $ABF$ jest płaskim przekrojem graniastosłupa $ABCDEF$ płaszczyzną $p_{3}$ . Prosta $AB$ leży w tej płaszczyźnie, prosta $CF$ przebija ją w punkcie $F$ , a prosta $DE$ jest do płaszczyzny $p_{3}$ równoległa.
RcwAyrUP3UTrt1
Rysunek graniastosłupa trójkątnego prostego A B C D E F o podstawach A B C i D E F oraz płaszczyzny p indeks dolny 3. W płaszczyźnie p indeks dolny 3 leżą punkty A, B oraz F. Trójkąt A B F jest płaskim przekrojem graniastosłupa A B C D E F płaszczyzną p indeks dolny 3. Prosta AB leży w tej płaszczyźnie, prosta CF przecina ją w punkcie F, a prosta DE jest do płaszczyzny p indeks dolny 3 równoległa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dwie proste w przestrzeni

Przypomnijmy, że dwie proste przecinające się oraz dwie różne proste równoległe leżą w jednej płaszczyźnie.
Istnieją w przestrzeni pary prostych, które nie mają punktów wspólnych i nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przykład 3

Wybierzmy w przestrzeni punkty $A$ i $B$ oraz taki trzeci punkt $C$ , który nie leży na prostej $AB$ .
Płaszczyznę, którą wyznaczyły punkty $A, B, C$ , oznaczmy przez $p$ .
Rozpatrzmy teraz prostą $k$ , która przebija płaszczyznę $p$ w punkcie $C$ i wybierzmy na prostej $k$ punkt $D$ różny od $C$ .

RHZ7fgu0tNl5Y1

Rysunek płaszczyzny p i prostej AB leżącej na płaszczyźnie. Poprowadzona prosta k, która przebija płaszczyznę w punkcie C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokażemy, że proste $AB$ i $CD$ nie mają punktów wspólnych.
Gdyby proste $AB$ i $CD$ miały punkt wspólny, to te dwie proste wyznaczałyby płaszczyznę. Ponieważ punkty $A, B$ oraz $C$ leżą w płaszczyźnie $p$ , więc to właśnie $p$ byłaby płaszczyzną wyznaczoną przez proste $AB$ i $CD$ . Jednakże punkt $D$ nie leży w płaszczyźnie $p$ , co oznacza, że proste $AB$ i $CD$ nie mają punktów wspólnych i nie leżą w jednej płaszczyźnie. Proste $AB$ i $CD$ są tak zwanymi prostymi skośnymi.

proste skośne w przestrzeni

Definicja: proste skośne w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy prostymi skośnymi.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiony jest prostopadłościan $ABCDEFGH$ .

RPoJOuAUSiw1C1

Rysunek graniastosłupa prostego A B C D E F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykażemy, że:

proste $AB$ i $DH$ są skośne
Rozpatrzmy płaszczyznę ściany $ADHE$ . W tej płaszczyźnie leżą punkty $A, D$ i $H$ , natomiast punkt $B$ w niej nie leży.
Zatem proste $AB$ i $DH$ są skośne.
RdsGO8xEogTjc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
proste $AE$ i $BH$ są skośne
Rozpatrzmy płaszczyznę ściany $ABFE$ . W tej płaszczyźnie leżą punkty $A, B$ i $E$ , natomiast punkt $H$ w niej nie leży. Zatem proste $AE$ i $BH$ są skośne.
RMfAuND7T0OH81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
proste $BH$ i $DG$ są skośne
Rozpatrzmy płaszczyznę ściany $DCGH$ , w której leżą punkty $D, G$ i $H$ . Punkt $B$ nie leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty $D, G$ i $H$ . Zatem proste $BH$ i $DG$ są skośne.
ROgyz4edJG6YE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Możliwe są zatem cztery następujące przypadki opisujące wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni:

proste pokrywają się (każdy punkt jednej prostej należy również do drugiej),
proste leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym punkcie,
proste leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są równoległe),
proste nie leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są skośne).

iRUfNwnOKO_d5e451

Prosta prostopadła do płaszczyzny. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Omówimy teraz pojęcie prostej prostopadłej do płaszczyzny.

W wielu sytuacjach praktycznych użytkujemy sprzęty, w których działaniu widać zastosowanie modelu pojęcia prostej prostopadłej do płaszczyzny. Każde skrzydła drzwi, okna (o ile nie są uchylne), bramy czy furtki muszą być zamocowane na zawiasach do pionowego, nieruchomego słupka ościeżnicy (nazywanej też futryną). Fachowiec, który montuje taką ościeżnicę, musi sprawdzić, czy słupek jest umocowany w pionie. Za pomocą odpowiednich narzędzi (np. poziomicy) weryfikuje ustawienie słupka, korzystając z następującej zasady: słupek jest ustawiony pionowo, gdy zostało ustalone, że jest on prostopadły do poziomu w dwóch różnych kierunkach.
Kiedy słupek ościeżnicy jest zamocowany pionowo, to niezależnie od tego, jak odchylimy zamocowane do niego skrzydła drzwi, zawsze będziemy mieli pewność, że są one ustawione właściwie (czyli prostopadle do poziomu).

Formalnie pojęcie prostej prostopadłej do płaszczyzny wprowadzamy za pomocą następującej definicji.

prostej prostopadłej do płaszczyzny

Definicja: prostej prostopadłej do płaszczyzny

Prostą $k$ , przebijającą płaszczyznę $p$ w punkcie $O$ nazywamy prostopadłą do tej płaszczyzny, gdy prosta $k$ jest prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt $O$ .

o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Twierdzenie: o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz dwie zawarte w tej płaszczyźnie proste $l$ i $m$ , które przecinają się w punkcie $O$ . Jeżeli prosta $k$ przebija płaszczyznę $p$ w punkcie $O$ tak, że jest prostopadła zarówno do prostej $m$ , jak i do prostej $l$ , to jest ona prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt $O$ .

Przykład 5

Wybierzmy na prostej $k$ punkt $K$ różny od $O$ . Przez $K’$ oznaczmy punkt symetryczny do $K$ względem $O$ .
Rozpatrzmy w płaszczyźnie $p$ dwie proste:

dowolną prostą $n$ , która przechodzi przez punkt $O$ i jest różna od każdej z prostych $k$ i $l$ ,
dowolną prostą $s$ , która leży w płaszczyźnie $p$ i nie przechodzi przez punkt $O$ .

Przez $L, M$ oraz $N$ oznaczmy punkty, w których prosta s przecina proste odpowiednio $l, m$ i $n$ .

RA8XJOxST9rHD1

Rysunek płaszczyzny oraz prostych zawartych w niej i przecinających się w punkcie O. Zaznaczono prostą k prostopadłą do obu prostych i do każdej innej prostej leżącej na tej płaszczyźnie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wtedy:

w trójkącie $KK’M$ prosta $OM$ jest prostopadła do $KK’$ i przechodzi przez środek $O$ tego boku, zatem jest symetralną boku $KK’$ . Oznacza to, że $|MK| = |MK'|$ .
w trójkącie $KK’L$ prosta $OL$ jest prostopadła do $KK’$ i przechodzi przez środek $O$ tego boku, zatem jest symetralną boku $KK’$ . Oznacza to, że $|LK| = |LK'|$ .

Ponieważ $|MK| = |MK'|$ oraz $|LK| = |LK'|$ , więc na mocy cechy bok‑bok‑bok stwierdzamy, że trójkąty $MKL$ i $MK’L$ są przystające. Stąd wynikają równości kątów: $|∠ KML| = |∠ K' ML|$ oraz $|∠ KLM| = |∠ K' LM|$ .
Ponieważ $|MK| = |MK'|$ oraz $|∠ KMN| = |∠ K' MN|$ , więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok stwierdzamy, że trójkąty $MKN$ i $MK’N$ są przystające. Stąd $|NK| = |NK'|$ , co oznacza, że trójkąt $KNK’$ jest równoramienny. W tym trójkącie środkowa $ON$ poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest prostopadła do podstawy $KK’$ . Oznacza to, że prosta $n$ jest prostopadła do prostej $k$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

Uwaga. Ponieważ prosta $KK’$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , więc każda z płaszczyzn przechodzących przez prostą $KK’$ :

płaszczyzna wyznaczona przez punkty $K, K’$ oraz $M$ ,
płaszczyzna wyznaczona przez punkty $K, K’$ oraz $N$ ,
płaszczyzna wyznaczona przez punkty $K, K’$ oraz $L$

jest prostopadła do płaszczyzny $p$ .
Zatem dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeśli jedna przechodzi przez prostą prostopadłą do drugiej.

Prowadząc prostopadłą na płaszczyznę $p$ z punktu $A$ leżącego poza tą płaszczyzną, przebijamy płaszczyznę $p$ w punkcie $B$ . Długość odcinka $AB$ wyznacza odległość punktu $A$ od płaszczyzny $p$ . Jeżeli wybierzemy na płaszczyźnie $p$ dowolny punkt $P$ różny od $B$ , to jego odległość od $A$ jest większa od długości odcinka $AB$ , co natychmiast wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $ABP$ .

RUr2QJ7bVpfW31

Rysunek płaszczyzny p oraz punktów B, P leżących na niej oraz punktu A leżącego poza płaszczyzną. Z punktu A na płaszczyznę p opuszczona jest prostopadła, która przebija ją w punkcie B. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $B$ nazywamy też rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę $p$ .
Równie oczywiste jest spostrzeżenie, że wszystkie punkty prostej równoległej do danej płaszczyzny są równoodległe od tej płaszczyzny.

RZ9he6m4y50Fp1

Rysunek płaszczyzny p oraz dwóch prostych równoległych k i l. Prosta l leży na płaszczyźnie, prosta k równoległa do prostej l nie należy do tej płaszczyzny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli natomiast dla pewnych dwóch punktów prostej odległości od płaszczyzny są różne, to ta prosta przebija płaszczyznę.

RwJBeoAkzND5a1

Rysunek płaszczyzny p oraz dwóch prostych k i l. Prosta l leży na płaszczyźnie, prosta k nie należy do tej płaszczyzny ale przebija tę płaszczyznę. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że rzutem prostokątnym dowolnej prostej $k$ na płaszczyznę $p$ jest prosta $l$ , którą niekiedy nazywa się śladem prostej $k$ na płaszczyźnie $p$ .

Przykład 6

Przy montażu terenowego masztu antenowego stosuje się tzw. odciągi. Są to zazwyczaj linki stalowe o odpowiedniej wytrzymałości. Jeden koniec odciągu jest połączony z konstrukcją masztu, a drugi – z podłożem. Do mocowania odciągu w praktyce stosuje się regulowane połączenia przegubowe zarówno od strony podłoża, jak i masztu. Odciągi rozmieszcza się równomiernie wokół osi masztu, w grupach po trzy lub cztery.
Żeby odciągi te jednakowo przenosiły obciążenia poziome, należy zadbać również o to, aby były nachylone do płaszczyzny podłoża pod takim samym kątem.

REWA9miqB3SP91

Dwa zdjęcia masztów antenowych z odciągami. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pokażemy, że wszystkie te warunki są zrealizowane, gdy miejsca połączeń odciągów z fundamentem znajdują się w wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg o środku znajdującym się w punkcie mocowania masztu do podłoża.
Rozpatrzmy model masztu z trzema odciągami (jak na rysunku).

RWC2mblueTzgv1

Rysunek masztu antenowego w postaci półprostej OW. Zaznaczono trzy odcinki CW, AW, BW, które imitują odciągi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Spójrzmy na płaszczyznę $p$ , w której leżą punkty $A, B, C$ i $O$ . Punkty $A, B, C$ znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego, wpisanego w okręg o środku $O$ .

RIIE9NkM8JVXg1

Rysunek trójkąta A B C wpisanego w okrąg o środku O. Zaznaczono odcinki OA, OB, OC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy z odcinków: $OA, OB, OC$ jest rzutem prostokątnym odcinka odpowiednio: $AW, BW$ oraz $CW$ na płaszczyznę $p$ .

R1IxFhZLCCrSd1

Rysunek odcinków AW, BW, CW oraz ich rzutów prostokątnych OA, OB, OC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $|AO| = |BO| = |CO|$ , więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok trójkąty prostokątne: $AOW, BOW, COW$ są przystające. Oznacza to, że odcinki $AW, BW$ oraz $CW$ są równe, a także równe są kąty: $OAW, OBW, OCW$ .

R18LlloPp5JQN1

Rysunek trzech przystających trójkątów prostokątnych A O W, B O W, C O W. Trójkąty leżą po jednej stronie wspólnego boku OW. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każdy z kątów: $OAW, OBW, OCW$ uznajemy za kąt nachylenia prostej odpowiednio: $AW, BW$ oraz $CW$ do płaszczyzny $p$ .

Przyjmujemy bowiem następującą umowę.

kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Definicja: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz prostą $k$ , która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny $p$ . Kątem nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $p$ nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym $l$ na płaszczyznę $p$ .

RmYkdWfrXdRPX1

Przykład 7

Rozpatrzmy model masztu $OW$ z czterema odciągami $AW, BW, CW$ oraz $DW$ . Przy opisanych wcześniej założeniach: czworokąt $ABCD$ jest kwadratem, którego przekątne przecinają się w punkcie $O$ .

R1GRkXuYv6thv1

Rysunek masztu antenowego w postaci półprostej OW. Zaznaczono cztery odcinki CW, AW, BW, DW, które imitują odciągi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $|AO| = |BO| = |CO| = |DO|$ , więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok trójkąty prostokątne: $AOW, BOW, COW$ oraz $DOW$ są przystające. Oznacza to, że równe są kąty nachylenia odcinków $AW, BW, CW$ oraz $DW$ do płaszczyzny, w której leży kwadrat $ABCD$ .

R1JCn6tuE3opl1

Rysunek czterech trójkątów prostokątnych A O W, B O W, C O W, D O W. Trójkąty leżą po jednej stronie wspólnego boku OW. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCDEF$ podstawami są trójkąty $ABC$ i $DEF$ . Zaznaczymy kąt, pod jakim przekątna $DB$ ściany bocznej $ABCD$ jest nachylona do ściany bocznej $BCFE$ .

R1d4MD46IEVCO1

Rysunek graniastosłupa prostego A B C D E F. Zaznaczono przekątną BD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczymy rzut prostokątny prostej $BD$ na ścianę $BCFE$ . Postawmy w tym celu graniastosłup na tej ścianie.
Zauważmy, że prosta $BD$ przebija ścianę $BCFE$ w punkcie $B$ . Dany graniastosłup jest prosty, zatem płaszczyzny ścian $DEF$ i $BCFE$ są prostopadłe. Ponadto trójkąt $DEF$ jest równoboczny, więc rzutem prostokątnym punktu $D$ na ścianę $BCFE$ jest punkt $G$ – środek krawędzi $EF$ . Zatem kątem $α$ , pod jakim prosta $DB$ jest nachylona do ściany $BCFE$ , jest kąt $DBG$ .

RxuDKWH82fQDx1

Rysunek graniastosłupa prostego A B C D E F. Zaznaczono prostą BD oraz kąt alfa jaki tworzy, ze ścianą boczną B C F E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iRUfNwnOKO_d5e671

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

o trzech prostych prostopadłych

Reguła: o trzech prostych prostopadłych

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz prostą $k$ , która przebija tę płaszczyznę w punkcie $P$ . Oznaczmy przez $l$ prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $p$ .
Wówczas dowolna prosta $m$ leżąca w płaszczyźnie $p$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$ .

RUWble3XzXJms1

Rysunek płaszczyzny p oraz prostej k, która przebija tę płaszczyznę w punkcie P. Zaznaczono prostą l, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę p oraz prostą m leżącą na tej płaszczyźnie prostopadłej do prostych k i l. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

Rozpatrzmy na prostej $k$ punkt $K$ różny od $P$ . Jego rzutem prostokątnym jest punkt $L$ , który leży na prostej $l$ .

Ra2Y85kyrBkJC1

Wtedy prosta $KL$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , a więc każda płaszczyzna, która zawiera prostą $KL$ , jest prostopadła do $p$ . Jedną z takich płaszczyzn jest ta, którą wyznaczają proste $k$ i $l$ . Nazwijmy tę płaszczyznę $p’$ .
Rozpatrzmy prostą $n$ leżącą w płaszczyźnie $p’$ , przechodzącą przez punkt $P$ i równoległą do $KL$ .

R1IleUfwgRWBS1

Ponieważ prosta $n$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , więc jest również prostopadła do prostej $m$ .
Zatem:

jeżeli $m$ jest także prostopadła do $k$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $p’$ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: $n$ oraz $k$ ), zatem i do prostej $l$ ,
jeżeli m jest także prostopadła do $l$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $p’$ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: $n$ oraz $l$ ), zatem i do prostej $k$ .

Oznacza to, że prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$ .
To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 9

Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest prostokąt $ABCD$ . Krawędź boczna $DW$ jest wysokością tego ostrosłupa. Wykażemy, że wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.
Ponieważ krawędź boczna $DW$ jest wysokością tego ostrosłupa, więc prosta $DW$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $ABCD$ danego ostrosłupa. W szczególności $DW$ jest prostopadła do prostych $DA$ oraz $DC$ , zatem trójkąty $ADW$ i $CDW$ są prostokątne.

RRkKmQOBvUeCV1

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczonymi dwoma kątami prostymi przy wierzchołku D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy ponadto, że:

prosta $AW$ przebija płaszczyznę podstawy ostrosłupa w punkcie $A$ , a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę jest prosta $DA$ ,
prosta $CW$ przebija płaszczyznę podstawy ostrosłupa w punkcie $C$ , a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę jest prosta $DC$ .

Ponieważ $ABCD$ jest prostokątem, więc prosta $DA$ jest prostopadła do prostej $AB$ , a prosta $DC$ jest prostopadła do prostej $CB$ . Korzystając zatem z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych, stwierdzamy, że:

prosta $AW$ jest prostopadła do prostej $AB$ , co oznacza, że trójkąt $ABW$ jest prostokątny,
prosta $CW$ jest prostopadła do prostej $CB$ , co oznacza, że trójkąt $BCW$ jest prostokątny.
ROdz4S8P79hXK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W ten sposób wykazaliśmy, że wszystkie ściany boczne ostrosłupa $ABCDW$ są trójkątami prostokątnymi.

iRUfNwnOKO_d5e779

Kąt między dwiema płaszczyznami

Podamy teraz sposób, według którego mierzymy kąt nachylenia płaszczyzny $q$ do płaszczyzny $p$ , gdy te płaszczyzny nie są ani równoległe, ani prostopadłe.

W tym celu z dowolnego punktu $P$ wybranego na krawędzi $k$ tych płaszczyzn (czyli na prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny $p$ i $q$ ) prowadzimy w każdej z tych płaszczyzn prostą prostopadłą do krawędzi $k$ – oznaczmy te proste przez $l$ i $m$ . Mniejszy z kątów utworzonych przez proste $l$ i $m$ nazywamy kątem nachylenia płaszczyzny $p$ do płaszczyzny $q$ .

Praktycznie dla zmierzenia takiego kąta nachylenia wystarczy zatem zaznaczyć dwie prostopadłe do krawędzi półproste w stosownych do sytuacji półpłaszczyznach i zmierzyć kąt między nimi.

ReIcwFsZsfWkO1

Rysunek dwóch płaszczyzn przecinających się z zaznaczonym między nimi kątem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W tej sytuacji warto przypomnieć pomysł z wcześniejszego przykładu – po otwarciu drzwi zamocowanych do pionowego słupka ościeżnicy możemy, stosując powyższy przepis, bez kłopotu zmierzyć kąt, o jaki skrzydła tych drzwi odchyliły się od płaszczyzny, w której zamocowana jest ościeżnica.

Przykład 10

Wróćmy do modelu, rozpatrywanego w przykładzie $7$ . Wykażemy, że każda z czterech płaszczyzn ścian bocznych ostrosłupa $ABCDW$ jest nachylona pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy $ABCD$ .

sposób $I$

Rozpatrzmy dwie płaszczyzny: płaszczyznę $p$ , w której leży kwadrat $ABCD$ , oraz płaszczyznę $q_{1}$ , w której leżą punkty $B, C$ i $W$ . Oznaczmy przez $E$ środek odcinka $BC$ .
Narysujmy trójkąt $BCW$ na płaszczyźnie, na której leży kwadrat $ABCD$ .

R1CvgkggLsma61

Rysunek kwadratu A B C D i trójkąta B C W, którego podstawa, jest bokiem BC kwadratu. Zaznaczono punkt O, który jest środkiem kwadratu, punkt E – środek boku BC oraz symetralną odcinka BC przechodzącą przez punkty O, E, W. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

ponieważ punkty $B$ i $C$ są równo oddalone od punktu $O$ , więc $O$ leży na symetralnej odcinka $BC$ ,
ponieważ punkty $B$ i $C$ są równo oddalone od punktu $W$ , więc $W$ leży na symetralnej odcinka $BC$ .

Zatem w punkcie $E$ , symetralna $OW$ przecina pod kątem prostym odcinek $BC$ .
Oznacza to, że mierząc kąt $OEW$ (oznaczony na rysunku jako $α$ ), dowiemy się, pod jakim kątem płaszczyzna $q_{1}$ jest nachylona do płaszczyzny $p$ .

RuHe4H5dZg3KS1

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczonym trójkątem prostokątnym W O E, gdzie przyprostokątna WO jest wysokością ostrosłupa, a punkt E środkiem boku BC. Zaznaczony kąt W E O = alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozpatrzmy z kolei płaszczyzny:

$q_{2}$ – w której leżą punkty $C, D$ i $W$ ,
$q_{3}$ – w której leżą punkty $D, A$ i $W$ ,
$q_{4}$ – w której leżą punkty $A, B$ i $W$ .

Oznaczmy też środki odcinków $CD, DA$ oraz $AB$ przez odpowiednio $F, G$ oraz $H$ .
Narysujmy teraz każdy z trójkątów: $ABW, BCW, CDW$ i $DAW$ na płaszczyźnie, na której leży kwadrat $ABCD$ .

RycSUI87OnJBu1

Rysunek siatki ostrosłupa A B C D W z zaznaczonymi środkami krawędzi podstawy - punktami E, F, G, H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozumując podobnie jak w przypadku płaszczyzn $p$ i $q_{1}$ , stwierdzamy, że:

kąt nachylenia płaszczyzny $q_{2}$ do płaszczyzny $p$ ma miarę taką, jak kąt $OFW$ ,
kąt nachylenia płaszczyzny $q_{3}$ do płaszczyzny $p$ ma miarę taką, jak kąt $OGW$ ,
kąt nachylenia płaszczyzny $q_{4}$ do płaszczyzny $p$ ma miarę taką, jak kąt $OHW$ .

Ponieważ trójkąty $OEW, OFW, OGW$ oraz $OHW$ mają równe przyprostokątne (są to wysokości przystających trójkątów równoramiennych $ABW, BCW, CDW$ oraz $DAW$ ), a także równe są odcinki $OE, OF, OG$ oraz $OH$ , to te trójkąty są przystające. Zatem kąty $OEW, OFW, OGW$ i $O HW$ są równe. Stąd równe są kąty nachylenia płaszczyzn $q_{1}$ , $q_{2}$ , $q_{3}$ oraz $q_{4}$ do płaszczyzny p.

sposób $II$

Tym razem pokażemy, że przy ustalaniu miar omawianych kątów dwuściennych można skorzystać z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych.
Zauważmy, że prosta $OW$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , w której leży kwadrat $ABCD$ . Prosta $WE$ przebija płaszczyznę $p$ w punkcie $E$ . Rzutem prostokątnym prostej $WE$ na płaszczyznę $p$ jest prosta $OE$ . Ponieważ prosta $WE$ jest prostopadła do prostej $BC$ (bo $WE$ jest wysokością w trójkącie równoramiennym $BCW$ ), więc na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych jest również prostopadła do prostej $OE$ . Zatem kąt $OEW$ opisuje kąt nachylenia płaszczyzny $q_{1}$ do płaszczyzny $p$ .

RSq212LcvGgpV1

Korzystając z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych, opisujemy kąty nachylenia płaszczyzn $q_{2}$ , $q_{3}$ , $q_{4}$ do płaszczyzny $p$ jako kąty $OFW, OGW$ i $OHW$ . W trójkątach $OEW, OFW, OGW$ i $OHW$ przyprostokątna $OW$ jest wspólna, a przeciwprostokątne $EW, FW, GW$ i $HW$ są równe, więc te trójkąty są przystające. Stąd równe są kąty nachylenia płaszczyzn $q_{1}$ , $q_{2}$ , $q_{3}$ oraz $q_{4}$ do płaszczyzny $p$ .
Uwaga.
Podobne rozumowanie pozwala stwierdzić, że w dowolnym ostrosłupie prawidłowym równe są kąty, pod jakimi każda ze ścian bocznych jest nachylona do płaszczyzny podstawy. W każdym takim ostrosłupie spodek $O$ wysokości poprowadzonej z wierzchołka $W$ ostrosłupa na podstawę jest bowiem środkiem okręgu opisanego na tej podstawie. Równe są także wysokości ścian bocznych takiego ostrosłupa. Zatem z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych otrzymujemy przystawanie trójkątów, w których jeden z kątow ostrych ma miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. Stąd te kąty nachylenia są równe.

Przykład 11

Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest kwadrat $ABCD$ . Punkt $E$ jest środkiem krawędzi $AD$ , odcinek $EW$ jest wysokością ostrosłupa.

RpjdxK4fvDJQ71

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczonym punktem E, który jest środkiem boku AD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznaczymy kąty nachylenia ścian bocznych: $ABW, BCW, CDW$ oraz $DAW$ tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy $ABCD$ .

Ponieważ prosta $WE$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy $ABCD$ , więc ściana $DAW$ jest również prostopadła do tej płaszczyzny.
Prosta $EA$ jest rzutem prostokątnym prostej $WA$ na płaszczyznę podstawy $ABCD$ . Ponieważ podstawą jest kwadrat $ABCD$ , więc prosta $EA$ jest prostopadła do prostej $AB$ . Zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych także prosta $WA$ jest prostopadła do prostej $AB$ . Oznacza to, że kąt $WAE$ jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany $WAB$ do płaszczyzny podstawy $ABCD$ .

R266rIjpRHV701

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczonym punktem E, który jest środkiem boku AD oraz kątem W A D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prosta $ED$ jest rzutem prostokątnym prostej $WD$ na płaszczyznę podstawy $ABCD$ . Proste $ED$ i $DC$ są prostopadłe, zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również prosta $WD$ jest prostopadła do prostej $DC$ . Oznacza to, że kąt $WDE$ jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany $WDC$ do płaszczyzny podstawy $ABCD$ .

R7dFpPQUhhu7N1

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczonym punktem E, który jest środkiem boku AD, kątem A D W oraz kątami prostymi W D C i A D C. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że w przypadku tego ostrosłupa kąty nachylenia dwóch ścian: $ABW$ oraz $CDW$ do płaszczyzny podstawy $ABCD$ zmierzyliśmy za pomocą kątów płaskich odpowiednio: $WAD$ i $WDA$ w ścianie $DAW$ .

Oznaczmy środek krawędzi $BC$ przez $F$ . Wtedy prosta $EF$ jest rzutem prostokątnym prostej $WF$ na płaszczyznę podstawy $ABCD$ . Proste $EF$ i $BC$ są prostopadłe, zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również prosta $WF$ jest prostopadła do prostej $BC$ . Oznacza to, że kąt $WFE$ jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany $WBC$ do płaszczyzny podstawy $ABCD$ .

RArG4m382KEBp1

Rysunek ostrosłupa A B C D W. Zaznaczony środek krawędzi BC w punkcie F krawędzi BC. Prosta EF jest rzutem prostokątnym prostej WF na płaszczyznę zawierającą podstawę A B C D. Proste EF i BC są prostopadłe. Kąt W F E jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany W B C do płaszczyzny podstawy A B C D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odkładając każdy z trójkątów: $ABW, BCW, CDW$ oraz $DAW$ na płaszczyznę kwadratu $ABCD$ , otrzymamy następującą siatkę ostrosłupa $ABCDW$ .

Rqw3KTS4Zuxng1

Rysunek siatki ostrosłupa A B C D W. Zaznaczono punkty E i F, które są odpowiednio środkami boków AD i BC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iRUfNwnOKO_d5e942

Przykład 12

Rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ .

R1ZaXv1xccljO1

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczoną wysokością WO. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Płaszczyzny ścian $ABW$ oraz $CDW$ mają punkt wspólny $W$ , zatem przecinają się wzdłuż pewnej prostej przechodzącej przez $W$ . Zaznaczymy krawędź $k$ przecięcia tych płaszczyzn.
Zauważmy, że proste $AB$ i $CD$ są równoległe. Zatem prosta $k$ przechodząca przez $W$ i równoległa do jednej z nich jest równoległa także do drugiej.
Oznacza to, że prosta $k$

jest równoległa do prostej $AB$ i przechodzi przez punkt $W$ , zatem leży w płaszczyźnie ściany $ABW$ ,
jest równoległa do prostej $CD$ i przechodzi przez punkt $W$ , zatem leży w płaszczyźnie ściany $CDW$ .

Płaszczyzny tych ścian nie są, oczywiście, równoległe, zatem prosta $k$ jest szukaną krawędzią przecięcia płaszczyzn ścian $ABW$ i $CDW$ .

R1XxWDWyObJWn1

Rysunek ostrosłupa A B C D W z zaznaczoną wysokością WO oraz prostą k przechodzącą przez wierzchołek W. Prosta k jest krawędzią przecięcia płaszczyzn ścian A B W i C D W. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 13

Podstawą ostrosłupa czworokątnego $ABCDW$ jest trapez równoramienny $ABCD$ , w którym podstawa $AB$ jest krótsza od podstawy $CD$ .

R1S64oh1XnyRI1

Rysunek ostrosłupa A B C D W o podstawie trapezu równoramiennego A B C D. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Płaszczyzny ścian $ADW$ oraz $BCW$ mają punkt wspólny $W$ , zatem przecinają się wzdłuż pewnej prostej przechodzącej przez $W$ . Zaznaczymy krawędź przecięcia tych płaszczyzn.

Zauważmy, że proste $AD$ i $BC$ nie są równoległe. Zatem punkt $E$ , w którym te proste się przecinają, leży jednocześnie w płaszczyźnie ściany $ADW$ (bo każdy punkt prostej $AD$ leży w tej płaszczyźnie) oraz w płaszczyźnie ściany $BCW$ (bo każdy punkt prostej $BC$ leży w tej płaszczyźnie).

Mamy zatem dwa punkty $E$ i $W$ , które należą jednocześnie do płaszczyzny każdej ze ścian: $ADW$ oraz $BCW$ . Punkty te leżą więc na krawędzi, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny tych ścian. Oznacza to, że prosta $WE$ jest szukaną krawędzią.

R1Oyqxrx0o30x1

Rysunek ostrosłupa A B C D W o podstawie trapezu równoramiennego A B C D. Przez wierzchołki podstawy poprowadzone są proste AD i BC, które nie są równoległe. Proste przecinają się w punkcie E, który leży w płaszczyźnie ściany A D W oraz w płaszczyźnie ściany B C W. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 14

Na krawędziach $CG$ oraz $HE$ sześcianu $ABCDEFGH$ wybrano punkty odpowiednio $K$ i $L$ .

R1bXLYYXbklWT1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H. Zaznaczono punkt K leżący na krawędzi GC oraz punkt L leżący na boku EH. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zaznaczymy płaski przekrój tego sześcianu płaszczyzną $p$ , do której należą punkty $B, K$ oraz $L$ .

Do płaszczyzny tego przekroju należy prosta $BK$ . Oznaczmy przez $M$ punkt przecięcia tej prostej z krawędzią $FG$ , wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ścian $BCGF$ oraz $EHGF$ . Zatem punkt $M$ należy do płaszczyzny $p$ , a także leży w płaszczyźnie ściany $EHGF$ . W tej płaszczyźnie leży też punkt $L$ , który należy do płaszczyzny przekroju. Oznacza to, że prosta $ML$ należy do płaszczyzny $p$ . Oznaczmy przez $P$ punkt, w którym prosta $ML$ przecina krawędź $EF$ między płaszczyznami $GHEF$ oraz $BAEF$ . Punkt $P$ należy do płaszczyzny przekroju, a także leży w płaszczyźnie ściany $ABFE$ . W tej płaszczyźnie leży również punkt $B$ , który należy do płaszczyzny $p$ . Zatem prosta $PB$ należy do płaszczyzny przekroju.
Oznaczmy przez $N$ punkt, w którym prosta $PM$ przecina krawędź $GH$ , a przez $Q$ – punkt, w którym prosta $PB$ przecina krawędź $AE$ .

RGzkUjel2YhEV1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H. Zaznaczony jest płaski przekrój tego sześcianu płaszczyzną p, do której należą punkty B, K oraz L. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wobec tego płaskim przekrojem sześcianu płaszczyzną $p$ , do której należą punkty $B, K$ oraz $L$ jest pięciokąt $BKNLQ$ .

RUPYvgyP6clgm1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H z zaznaczonym pięciokątem B K N L Q, który jest płaskim przekrojem sześcianu płaszczyzną p. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że proste $BK$ i $QL$ leżą w płaszczyznach równoległych ścian odpowiednio $BCGF$ i $ADHE$ danego sześcianu. Zatem te proste nie mają punktów wspólnych, a więc są skośne lub równoległe. Jednocześnie obie te proste leżą w płaszczyźnie $p$ , co oznacza że, są to proste równoległe.

Rozumując podobnie, można uzasadnić twierdzenie o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną.

iRUfNwnOKO_d5e1041

o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Twierdzenie: o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Jeżeli płaszczyzna przecina każdą z dwóch płaszczyzn równoległych, to otrzymane krawędzie przecięcia są prostymi równoległymi.

Przykład 15

Na podstawie tego twierdzenia stwierdzamy, że również proste $BQ$ i $NK$ są równoległe – otrzymujemy je w wyniku przecięcia płaszczyzną $p$ dwóch równoległych płaszczyzn: płaszczyzny ściany $ABFE$ oraz płaszczyzny ściany $CDHG$ .
Zatem pięciokąt $BKNLQ$ ma dwie pary boków równoległych: $BQ | | NK$ oraz $BK | | QL$ .

Przykład 16

Rozpatrzmy sześcian $ABCDEFGH$ , którego krawędź ma długość $a$ . Wykorzystując spostrzeżenia poczynione w poprzednim przykładzie, można wykazać, że płaski przekrój sześcianu płaszczyzną $p$ , do której należą środki $K, L, M$ krawędzi, odpowiednio $EH, HG$ oraz $GC$ (zobacz rysunek), jest sześciokątem foremnym.

R5XuxRogxECZ21

Rysunek sześcianu A B C D E F G H z zaznaczonymi środkami K, L i M krawędzi odpowiednio EH, HG oraz GC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do tego przekroju należy bowiem prosta równoległa do prostej $KL$ i przechodząca przez punkt $M$ . Ta prosta przecina krawędź $AE$ w jej środku $N$ .

RPnr8IbXmDfyC1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H z zaznaczonymi środkami K, L i M krawędzi odpowiednio prostych EH, HG oraz GC. Poprowadzona prosta KL i prosta do niej równoległa MN, gdzie punkt M leży na prostej AE. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ ściany $ADHE$ i $BCGF$ są równoległe, więc płaszczyzna p przecina ścianę $BCGF$ wzdłuż prostej równoległej do $KN$ i przechodzącej przez punkt $M$ . Ta prosta przecina krawędź $BC$ w jej środku $P$ .

R1LFRpFJ9jN4k1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H z zaznaczonymi środkami K, L i M krawędzi odpowiednio prostych EH, HG oraz GC. Poprowadzona prosta KN i do niej prosta równoległa MP. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozumując podobnie, pokazujemy, że do płaszczyzny przekroju należy prosta równoległa do prostej $KL$ i przechodząca przez punkt $P$ . Ta prosta przecina krawędź $AB$ w jej środku $Q$ .

R1T6cQEWAS22W1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H z zaznaczonymi środkami K, L i M krawędzi odpowiednio EH, HG oraz GC. Poprowadzone proste równoległe KN i MP oraz prosta KL i do niej prosta równoległa PQ. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przekrojem danego sześcianu jest sześciokąt $KLMPQN$ .

RXF6faKFiGrvU1

Rysunek sześcianu A B C D E F G H oraz przekrój sześcianu- sześciokąt K L M P Q N. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jego wierzchołki są środkami sześciu krawędzi sześcianu, więc każdy z boków tego sześciokąta ma długość $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Zauważmy też, że każda z przekątnych $PK, QL$ i $NM$ sześciokąta $KLMPQN$ jest odcinkiem łączącym środki przeciwległych (nieskośnych) krawędzi sześcianu, zatem jest równa przekątnej ściany sześcianu. Stąd każda z tych przekątnych ma długość $a \sqrt{2}$ . Oznaczmy przez $S$ punkt, w którym przecinają się przekątne $PK$ i $QL$ . Ponieważ czworokąt $KLPQ$ jest równoległobokiem $(KL | | PQ$ oraz $|KL| = |PQ| = \frac{a \sqrt{2}}{2})$ , więc S jest środkiem każdego z odcinków $PK, QL$ . Rozumując podobnie, pokazujemy, że czworokąt $LMQN$ również jest równoległobokiem, co oznacza, że $S$ jest także środkiem odcinka $NM$ . Wobec tego przekątne $PK, QL$ i $NM$ dzielą sześciokąt $KLMPQN$ na sześć trójkątów równobocznych o boku $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . To spostrzeżenie kończy dowód - sześciokąt $KLMPQN$ jest foremny.

Podamy jeszcze jeden sposób uzasadnienia, że sześciokąt $KLMPQN$ jest foremny.
Rozpatrzmy proste $KL$ , $MP$ oraz $NQ$ . Ponieważ leżą one w jednej płaszczyźnie, więc:

proste $KL$ i $MP$ przecinają się w punkcie $X$ , leżącym na krawędzi $FG$ między płaszczyznami ścian $BCGF$ oraz $EHGF$ ,
proste $MP$ i $QN$ przecinają się w punkcie $Y$ , leżącym na krawędzi $FB$ między płaszczyznami ścian $CGFB$ oraz $AEFB$ ,
proste $QN$ i $KL$ przecinają się w punkcie $Z$ , leżącym na krawędzi $FE$ między płaszczyznami ścian $GHEF$ oraz $BAEF$ .
RwMqYSGUK6S511
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
W płaszczyźnie ściany $EFGH$ , na prostej $KL$ leżą punkty $X$ oraz $Z$ .
RXg9K9hVfnIYl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ponieważ $K$ i $L$ są środkami krawędzi odpowiednio $HG$ i $HE$ , więc trójkąt $HKL$ jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym. Zatem w trójkątach prostokątnych $KGX$ i $LEZ$ kąty $ELZ$ oraz $XKG$ są równe $45 °$ , co oznacza, że są to trójkąty równoramienne. Wobec tego każdy z nich jest przystający do trójkąta $HKL$ . Stąd wynika, że $|XK| = |KL| = |L Z| = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ , a więc $|XZ| = 3 |KL| = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a$ .
Rozumując podobnie pokazujemy, że:
$|XM| = |MP| = |PY| = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ , stąd $|XY| = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a$ ,
$|YQ| = |QN| = |NZ| = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ , stąd $|YZ| = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a$ .

Trójkąt $XYZ$ jest więc równoboczny i ma bok długości $\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$ . Każdy z trójkątów $XML$ , $YPQ$ oraz $ZKN$ jest też równoboczny i ma bok długości $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ . To oznacza, że w sześciokącie $KLMPQN$ każdy z boków jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ i każdy z kątów wewnętrznych ma miarę $120 °$ Zatem sześciokąt $KLMPQN$ jest foremny.

Zauważmy przy okazji, że jeżeli płaski przekrój sześcianu jest czworokątem, to płaszczyzna tego przekroju przecina pewne cztery ściany sześcianu. Ponieważ w sześcianie są trzy pary ścian równoległych, więc wśród tych czterech ścian sześcianu pewne dwie są równoległe. Zatem przekrój ten jest trapezem. W szczególności może być rombem, a także może być prostokątem.

Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupach

Punkty, proste i płaszczyzny w przestrzeni