Pierwiastki równań

W tym rozdziale zajmiemy się funkcjami, zwanymi wielomianami. Znasz już przykłady takich funkcji. Każda funkcja liniowa $f (x) = ax + b$ i każda funkcja kwadratowa $g (x) = a x^{2} + bx + c$ jest wielomianem. Innymi przykładami wielomianów są funkcje

W (x) = x^{3} - 2 x, V (x) = 2 x^{7} - 3 x^{2} + 3, R (x) = 10 x^{5} .

Wielomian

Definicja: Wielomian

Wielomianem zmiennej $x$ stopnia $n$ $(n -$ liczba naturalna dodatnia) nazywamy funkcję określoną wzorem

W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

gdzie $x \in R$ , $a_{n} \neq 0$ oraz $a_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{1}, a_{0}$ są liczbami rzeczywistymi. Liczby ${a_{n}, a}_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{1}, a_{0}$ nazywamy współczynnikami wielomianu.

Przyjmujemy ponadto, że funkcja liniowa stała $W (x) = a_{0}$ , gdzie $a_{0} \neq 0$ , jest wielomianem stopnia zerowego, natomiast funkcję liniową $W (x) = 0$ nazywamy wielomianem zerowym i nie określamy stopnia tego wielomianu.
Zgodnie z tą definicją funkcja liniowa $f (x) = ax + b$ jest wielomianem stopnia pierwszego, gdy $a \neq 0$ , a funkcja kwadratowa

g (x) = a x^{2} + bx + c

jest wielomianem stopnia drugiego. Oczywiście $a \neq 0$ , gdyż inaczej nie byłaby to funkcja kwadratowa.

Przykład 1

Funkcja określona wzorem $W (x) = 2 x^{7} {+ x}^{2} - 3 x$ jest wielomianem stopnia $7$ . Współczynniki tego wielomianu są równe odpowiednio $a_{7} = 2$ , bo taka liczba stoi przy $x^{7}$ , $a_{6} = a_{5} = a_{4} = a_{3} = 0$ , bo te potęgi $x$ nie występują we wzorze funkcji, $a_{2} = 1$ , $a_{1} = - 3$ oraz $a_{0} = 0$ , gdyż wyraz wolny nie występuje we wzorze funkcji. Wzór tej funkcji moglibyśmy zapisać w postaci

W (x) = 2 x^{7} {+ 0 ∙ x^{6} + 0 ∙ x^{5} + 0 ∙ x^{4} + 0 {∙ x}^{3} + x}^{2} - 3 x + 0 .

Funkcja $P (x) = \sqrt{5} x + 5 x^{3} + 7 x^{2}$ jest wielomianem stopnia $3$ , choć wielomian ten nie został zapisany w postaci uporządkowanej, jaką byłaby postać

P (x) = 5 x^{3} + 7 x^{2} + \sqrt{5} x .

Funkcja $V (x) = 5 x^{3} + 7 x^{2} + \sqrt{5 x}$ nie jest wielomianem, ponieważ we wzorze tej funkcji występuje $\sqrt{5 x}$ , czyli $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , a więc zmienna $x$ nie występuje tu w potędze o wykładniku naturalnym.
Funkcja $Q (x) = \frac{2}{x} + 3 x^{2}$ nie jest wielomianem, gdyż $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ nie jest naturalną potęgą zmiennej $x$ .
Funkcja $R (x) = 5$ jest wielomianem stopnia zerowego.

Przykład 2

Przyjrzyj się wykresom niektórych funkcji wielomianowych.

RzUPBImap8GWl1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DFCwJv2Pf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 3

Wielomian jest funkcją zmiennej $x$ . Możemy obliczyć jego wartość dla danego argumentu $x$ . Obliczmy na przykład wartość wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ dla $x = - 2$ oraz dla $x = - \sqrt{2}$ .

W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $- 2$ i otrzymujemy

W (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 ∙ (- 2) = - 8 + 4 = - 4

W miejsce $x$ podstawiamy liczbę $- \sqrt{2}$ i otrzymujemy

W (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 2 ∙ (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 0

Zauważmy, że $W (- \sqrt{2}) = 0$ , zatem liczba $x = \sqrt{2}$ jest miejscem zerowym wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x$ . Miejsce zerowe wielomianu nazywamy często, podobnie jak miejsce zerowe funkcji kwadratowej, pierwiastkiem tego wielomianu.

Na wielomianach możemy wykonywać różne działania, między innymi możemy je dodawać, odejmować i mnożyć. Działania na wielomianach wykonujemy podobnie jak działania na wyrażeniach algebraicznych.

Przykład 4

Dodamy wielomiany $V (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3$ oraz $P (x) = - 2 x^{2} + x - 7$ .
Suma tych wielomianów jest równa

V (x) + P (x) = (2 x^{3} - 3 x^{2} + 3) + (- 2 x^{2} + x - 7)

Wyrazy podobne to takie składniki sumy, w których $x$ występuje w tej samej potędze. W rozważanej sumie występują dwie pary wyrazów podobnych

V (x) + P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 - 2 x^{2} + x - 7

Wyrazy podobne redukujemy, a więc

- 3 x^{2} - 2 x^{2} = - 5 x^{2}

oraz

+ 3 - 7 = - 4

Ostatecznie otrzymujemy

V (x) + P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 4

Zatem sumą wielomianów $V (x)$ i $P (x)$ jest również wielomian.

Przykład 5

Odejmijmy wielomiany $V (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3$ i $P (x) = - 2 x^{2} + x - 7$ .
Różnica wielomianów $V (x)$ i $P (x)$ jest równa

V (x) - P (x) = (2 x^{3} - 3 x^{2} + 3) - (- 2 x^{2} + x - 7)

Zapiszmy tę różnicę bez użycia nawiasów, pamiętając, że znak minus przed drugim nawiasem powoduje, że opuszczając go, zmieniamy znaki wszystkich składników sumy w tym nawiasie na przeciwne.

V (x) - P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{2} - x + 7

Następnie, tak jak przy dodawaniu, wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Otrzymujemy

V (x) - P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{2} - x + 7 = 2 x^{3} - x^{2} - x + 10

Zatem różnica dwóch wielomianów też jest wielomianem.

iV1ROpe61v_d5e258

Przykład 6

Pomnożymy wielomiany $W (x) = x^{3} - 2 x$ oraz $Q (x) = 3 x - 5$ .
Ich iloczyn jest równy

W (x) ∙ Q (x) = (x^{3} - 2 x) \cdot (3 x - 5)

Mnożymy każdy wyraz sumy z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz sumy z drugiego nawiasu

x^{3} ∙ 3 x + x^{3} ∙ (- 5) - 2 x ∙ 3 x - 2 x ∙ (- 5)

Po uporządkowaniu wyrażenia, otrzymujemy

W (x) ∙ Q (x) = 3 x^{4} - 5 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x

Zatem iloczyn dwóch wielomianów też jest wielomianem.

Przykład 7

Wykonamy działania

{(x^{2} - 3)}^{2} - 2 x (x^{3} - 2 x + 4) = {(x^{2})}^{2} - 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2} - 2 {x \cdot x}^{3} - 2 x \cdot (- 2 x) - 2 x \cdot 4 =

x^{4} - 6 x^{2} + 9 - 2 x^{4} + 4 x^{2} - 8 x

Wykonamy redukcję wyrazów podobnych.

x^{4} - 6 x^{2} + 9 - 2 x^{4} + 4 x^{2} - 8 x = - x^{4} - 2 x^{2} - 8 x + 9

Przykład 8

Długości krawędzi prostopadłościanu są kolejnymi liczbami całkowitymi. Jakim wzorem wyrazi się pole powierzchni i objętość tego prostopadłościanu w zależności od długości najkrótszej krawędzi prostopadłościanu?
Oznaczmy przez $x$ długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu. Wtedy pozostałe dwie krawędzie są równe $x + 1$ oraz $x + 2$ , gdzie $x$ jest liczbą naturalną dodatnią.

R1ZwWRT5g9TIZ1

Rysunek prostopadłościanu o krawędziach długości x, x+1, x +2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystającymi prostokątami. Zatem pole $P_{c}$ powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

P_{c} = 2 x (x + 1) + 2 x (x + 2) + 2 (x + 1) (x + 2) = 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x + 2 (x^{2} + x + 2 x + 2) = 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 4 x + 4 = 6 x^{2} + 12 x + 4

Objętość $v$ tego prostopadłościanu jest równa

v = x (x + 1) (x + 2) = (x^{2} + x) (x + 2) = x^{3} + x^{2} + 2 x^{2} + 2 x = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x

Przykład 9

Wyznacz wszystkie wartości $a$ , dla których wartość wielomianu

W (x) = a x^{3} + (1 - a^{2}) x^{2} + 5 ax + 3 a + 3

dla argumentu $2$ jest równa $3$ .
Chcemy wyznaczyć wszystkie te wartości parametru $a$ , dla których $W (2) = 3$ . Podstawiamy więc $2$ w miejsce $x$ i otrzymujemy

a \cdot 2^{3} + (1 - a^{2}) {\cdot 2}^{2} + 5 a \cdot 2 - 3 a + 3 = 3

Przekształcając to równanie do postaci

8 a + 4 - 4 a^{2} + 10 a - 3 a = 0

a następnie porządkując je, otrzymujemy równanie kwadratowe

- 4 a^{2} + 15 a + 4 = 0

dla którego $∆ = 289$ . Równanie to ma więc dwa rozwiązania $a_{1} = \frac{- 15 - 17}{- 8} = 4$ oraz $a_{2} = \frac{- 15 + 17}{- 8} = - \frac{1}{4}$ .

iV1ROpe61v_d5e356

classicmobile

Ćwiczenie 1

$W (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ oraz $V (x) = - x^{2} + 3 x - 1$ . Wtedy wielomian $W (x) - V (x)$ jest równy

RMPFu8iX2Cxap

$3 x^{3} - 2 x + 2$
$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2$
$x^{3} + 4 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 2$

static

Ćwiczenie 1

$W (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ oraz $V (x) = - x^{2} + 3 x - 1$ . Wtedy wielomian $W (x) - V (x)$ jest równy

R1HuP4tiAhcgm

$3 x^{3} - 2 x + 2$
$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 2$
$x^{3} + 4 x$
$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Wartość wielomianu $W (x) = (x^{4} - 9) (x + 3)$ dla argumentu $\sqrt{3}$ jest równa

R1Mi2lDjGGORb

$0$
$- 6 (\sqrt{3} + 3)$
$6 (\sqrt{3} + 3)$
$- 18 \sqrt{3}$

static

Ćwiczenie 2

Wartość wielomianu $W (x) = (x^{4} - 9) (x + 3)$ dla argumentu $\sqrt{3}$ jest równa

R1Nespub1eYjv

$0$
$- 6 (\sqrt{3} + 3)$
$6 (\sqrt{3} + 3)$
$- 18 \sqrt{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Który z podanych wielomianów dla argumentu $x = - 2$ przyjmuje wartość $0$ ?

R1KaXY7kGyBnx

$W (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
$W (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 2 x$
$W (x) = x^{4} + 2 x^{3}$
$W (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

static

Ćwiczenie 3

Który z podanych wielomianów dla argumentu $x = - 2$ przyjmuje wartość $0$ ?

RRH8JDvX2R90v

$W (x) = x^{3} - 2 x^{2}$
$W (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 2 x$
$W (x) = x^{4} + 2 x^{3}$
$W (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Wielomian $W (x) = 2 x^{4} - a x^{3} + x^{2} - a$ dla argumentu $- 2$ przyjmuje wartość $- 1$ . Wtedy

RH1DIcqyUNhRq

$a = - \frac{37}{7}$
$a = 3$
$a = 2,5$
$a = - 2$

static

Ćwiczenie 4

Wielomian $W (x) = 2 x^{4} - a x^{3} + x^{2} - a$ dla argumentu $- 2$ przyjmuje wartość $- 1$ . Wtedy

RszHyUlS2LuN0

$a = - \frac{37}{7}$
$a = 3$
$a = 2,5$
$a = - 2$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Dla wielomianu $W (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 7$

Rg8d4rijpmYcO

$W (2) > W (- 2)$
$W (0) > 7$
$W (1) > W (- 3)$
$W (100) = W (- 100)$

static

Ćwiczenie 5

Dla wielomianu $W (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 7$

RfhFgqYzyTc1l

$W (2) > W (- 2)$
$W (0) > 7$
$W (1) > W (- 3)$
$W (100) = W (- 100)$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne.

R1LJdHAnzW9cO

$W (x) = x^{2} - x^{4}$
$W (x) = - x^{5} - x^{3}$
${W (x) = - x}^{4} - x^{2} - 2$
$W (x) = - x^{5} + 1$

static

Ćwiczenie 6

Wybierz wielomian, który przyjmuje tylko wartości ujemne.

RYQcv8FknxR4s

$W (x) = x^{2} - x^{4}$
$W (x) = - x^{5} - x^{3}$
${W (x) = - x}^{4} - x^{2} - 2$
$W (x) = - x^{5} + 1$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Wielomian $W (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 5$ jest sumą wielomianu $P (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 5$ oraz wielomianu $Q (x)$ .
Wtedy

R1KzeGDxkpe90

$Q (x) = x^{4} - 8 x^{2}$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2}$
$Q (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 10$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3}$

static

Ćwiczenie 7

Wielomian $W (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 5$ jest sumą wielomianu $P (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 5$ oraz wielomianu $Q (x)$ .
Wtedy

R1FFz5lTpV0zu

$Q (x) = x^{4} - 8 x^{2}$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3} - 8 x^{2}$
$Q (x) = x^{4} + 2 x^{3} + 10$
$Q (x) = - x^{4} + 2 x^{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Wielomian $W (x) = (2 - 3 x) (2 + 3 x) (4 + 9 x^{2})$ jest równy

RV0mxoRWOU7vE

$16 - 81 x^{4}$
$16 + 81 x^{4}$
${(4 + 9 x^{2})}^{2}$
${(4 - 9 x^{2})}^{2}$

static

Ćwiczenie 8

Wielomian $W (x) = (2 - 3 x) (2 + 3 x) (4 + 9 x^{2})$ jest równy

Rz5gTd8FXPOsd

$16 - 81 x^{4}$
$16 + 81 x^{4}$
${(4 + 9 x^{2})}^{2}$
${(4 - 9 x^{2})}^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Dane są wielomiany $W (x) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}$ oraz $V (x) = 2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}$ . Wtedy

R1aaP8dSj6CuK

$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 2 x^{3} - 3 x^{5}$
$W (x) - V (x) = x^{7} + 5 x^{3}$
$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 3 x^{3} - 4 x^{5}$

$W (x) + V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) + (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} + 2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3} = 5 x^{7} + 3 x^{3} - 4 x^{5}$
$W (x) - V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) - (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 2 x^{7} + 2 x^{5} + x^{3} = x^{7} + 5 x^{3}$
$W (x) - 2 V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) - 2 (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{7} + 4 x^{5} + 2 x^{3} = - x^{7} + 6 x^{3} + 2 x^{5} = - x^{7} + 2 x^{5} + 6 x^{3}$

static

Ćwiczenie 9

Dane są wielomiany $W (x) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}$ oraz $V (x) = 2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}$ . Wtedy

R1K4K2uQEfQXr

$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 2 x^{3} - 3 x^{5}$
$W (x) - V (x) = x^{7} + 5 x^{3}$
$W (x) + V (x) = 5 x^{7} + 2 x^{3} - 3 x^{5}$

$W (x) + V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) + (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} + 2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3} = 5 x^{7} + 3 x^{3} - 4 x^{5}$
$W (x) - V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) - (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 2 x^{7} + 2 x^{5} + x^{3} = x^{7} + 5 x^{3}$
$W (x) - 2 V (x) = (3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5}) - 2 (2 x^{7} - 2 x^{5} - x^{3}) = 3 x^{7} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{7} + 4 x^{5} + 2 x^{3} = - x^{7} + 6 x^{3} + 2 x^{5} = - x^{7} + 2 x^{5} + 6 x^{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R137EhbFtzJNs

Funkcja $W (x) = \sqrt{7} x^{3} + 2 x - 9$ jest wielomianem stopnia $9$ .
Funkcja $V (x) = 2^{x} + 7$ jest wielomianem stopnia $2$ .
Funkcja $P (x) = 7 x$ jest wielomianem stopnia $1$ .

To jest wielomian, ale stopnia $3$ .
To nie jest wielomian, ponieważ występuje w nim wyrażenie $2^{x}$ , które nie jest naturalną potęgą zmiennej $x$ .
Jest to funkcja liniowa i nie jest to funkcja stała, a więc jest to wielomian stopnia pierwszego.

static

Ćwiczenie 10

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RiucuYONq2z42

Funkcja $W (x) = \sqrt{7} x^{3} + 2 x - 9$ jest wielomianem stopnia $9$ .
Funkcja $V (x) = 2^{x} + 7$ jest wielomianem stopnia $2$ .
Funkcja $P (x) = 7 x$ jest wielomianem stopnia $1$ .

To jest wielomian, ale stopnia $3$ .
To nie jest wielomian, ponieważ występuje w nim wyrażenie $2^{x}$ , które nie jest naturalną potęgą zmiennej $x$ .
Jest to funkcja liniowa i nie jest to funkcja stała, a więc jest to wielomian stopnia pierwszego.

iV1ROpe61v_d5e846

Ćwiczenie 11

Wykonaj działanie $W (x) \cdot V (x)$ , gdy $W (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{4} + x^{3}$ oraz $V (x) = x^{2} - 2 x$ .

$- 4 x^{7} + 10 x^{6} - 3 x^{5} - 2 x^{4}$

W (x) \cdot V (x) = (- 4 x^{5} + 2 x^{4} + x^{3}) (x^{2} - 2 x) =

- 4 x^{5} \cdot x^{2} - 4 x^{5} \cdot (- 2 x) + 2 x^{4} \cdot x^{2} + 2 x^{4} \cdot (- 2 x) + x^{3} \cdot x^{2} + x^{3} \cdot (- 2 x) =

- 4 x^{7} + 8 x^{6} + 2 x^{6} - 4 x^{5} + x^{5} - 2 x^{4} = - 4 x^{7} + 10 x^{6} - 3 x^{5} - 2 x^{4} .

Ćwiczenie 12

Dane są wielomiany $P (x) = - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7$ oraz $Q (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$ . Oblicz.

$P (x) + Q (x)$
$P (x) - Q (x)$
$2 P (x) - 3 Q (x)$
$P (x) \cdot Q (x)$

$- x^{3} + 7$
$- 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7$
$- 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14$
$- 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}$

$P (x) + Q (x) = - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7 + 2 x^{3} + 3 x^{2} = 7 - x^{3}$
$P (x) - Q (x) = (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) - (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$ $- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7 - 2 x^{3} - 3 x^{2} = - 5 x^{3} - 6 x^{2} + 7$
$2 P (x) - 3 Q (x) = 2 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) - 3 (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$ $- 6 x^{3} - 6 x^{2} + 14 - 6 x^{3} - 9 x^{2} =$ $= - 12 x^{3} - 15 x^{2} + 14$
$P (x) \cdot Q (x) = (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 7) (2 x^{3} + 3 x^{2}) =$
$- 6 x^{6} - 6 x^{5} + 14 x^{3} - 9 x^{5} - 9 x^{4} + 21 x^{2} =$ $= - 6 x^{6} - 15 x^{5} - 9 x^{4} + 14 x^{3} + 21 x^{2}$

Ćwiczenie 13

Oblicz wartość wielomianu $W (x) - 3 V (x) + 2 P (x)$ dla $x = - 1$ , gdy
$W (x) = 3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2}$
$V (x) = x^{5} + x^{4} + 2 x$
$P (x) = 3 x^{4} - 3 x + 7$

$34$

$W (x) - 3 V (x) + 2 P (x) = (3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2}) - 3 (x^{5} + x^{4} + 2 x) + 2 (3 x^{4} - 3 x + 7) =$
$3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2} - 3 x^{5} - 3 x^{4} - 6 x + 6 x^{4} - 6 x + 14 = 3 x^{5} - x^{4} + 6 x^{2} - 3 x^{5} - 3 x^{4} - 6 x + 6 x^{4} - 6 x + 14 =$
$2 x^{4} + 6 x^{2} - 12 x + 14$
Podstawiając w miejsce $x$ liczbę $- 1$ , otrzymujemy

2 \cdot {(- 1)}^{4} + 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 12 \cdot (- 1) + 14 = 2 + 6 + 12 + 14 = 34

Ćwiczenie 14

Znajdź wielomian $W (x) = V (x) \cdot P (x) - 2 Q (x)$ i określ jego stopień, jeżeli $V (x) = 2 x - 3$ , $P (x) = x^{2} + 3$ , $Q (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 7$ .

$W (x) = V (x) \cdot P (x) - 2 Q (x) = (2 x - 3) \cdot (x^{2} + 3) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} - 7) =$ $= 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 14 = 3 x^{2} + 6 x + 5$ . Jest to wielomian drugiego stopnia, ponieważ najwyższą potęgą w jakiej występuje $x$ , jest $2$ .

Ćwiczenie 15

Sprawdź, które z liczb $a = 0$ , $b = 7$ , $c = 4$ są pierwiastkami wielomianu $W (x) = x^{3} - 7 x^{2}$ .

$a$ oraz $b$

Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $a = 0$ i otrzymujemy $W (0) = 0^{3} - 7 {\cdot 0}^{2} = 0$ . Zatem liczba $0$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .
Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $b = 7$ i otrzymujemy $W (7) = 7^{3} - 7 {\cdot 7}^{2} = 0$ . Liczba $7$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .
Podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $c = 4$ i otrzymujemy $W (4) = 4^{3} - 7 {\cdot 4}^{2} = 64 - 112 = - 48$ , więc liczba $4$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ .

Ćwiczenie 16

Dla jakiej wartości $a$ wartość wielomianu $W (x) = x^{5} - 5 x^{3} + (a^{2} - 1) x - 7$ dla argumentu $x = 2$ jest równa $1$ .

$a = 3$ lub $a = - 3$

Wartość wielomianu dla argumentu $x = 2$ jest równa $1$ , czyli $2^{5} - 5 \cdot 2^{3} + (a^{2} - 1) 2 - 7 = 1$ . Zatem $32 - 5 \cdot 8 + 2 a^{2} - 2 - 7 = 1$ . Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie $2 a^{2} = 18$ , stąd $a^{2} = 9$ . Ostatecznie $a = 3$ lub $a = - 3$ .

Ćwiczenie 17

Dla jakiej wartości $a$ wielomian $W (x) = a x^{3} - (5 - a) x^{2} - a^{2} x$ przyjmuje dla argumentu $- 1$ taką samą wartość jak wielomian $P (x) = 5 x^{4} + 7 x$ ?

$a = \sqrt{3}$ lub $a = - \sqrt{3}$

Wartość wielomianu $P (x)$ dla argumentu $- 1$ jest równa

P (- 1) = 5 \cdot {(- 1)}^{4} + 7 \cdot (- 1) = 5 - 7 = - 2

Zatem szukamy wartości parametru $a$ , dla której $W (- 1) = - 2$ . Wstawiając w miejsce $x$ argument $- 1$ , otrzymujemy

W (- 1) = a \cdot {(- 1)}^{3} - (5 - a) \cdot {(- 1)}^{2} - a^{2} \cdot (- 1) = - 2

Przekształcając to równanie równoważnie, mamy $- a - 5 + a + a^{2} + 2 = 0$ , czyli $a^{2} - 3 = 0$ . Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy $(a - \sqrt{3}) (a + \sqrt{3}) = 0$ , stąd ostatecznie odczytujemy dwa rozwiązania $a = \sqrt{3}$ lub $a = - \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 18

Udowodnij, że wielomiany $P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16)$ oraz $Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12)$ przyjmują taką samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

sposób $I$

Zapiszmy oba wielomiany w postaci sumy $P (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 16) = x^{4} - 9 x^{2} - 16 x^{2} + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ oraz $Q (x) = (x^{2} - x - 12) (x^{2} + x - 12) = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + x^{3} - x^{2} - 12 x - 12 x^{2} + 12 x + 144 = x^{4} - 25 x^{2} + 144$ . Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ przyjmują więc tę samą wartość.

sposób $II$

Zapiszmy oba wielomiany w postaci iloczynu czynników liniowych. Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, mamy $P (x) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)$ . Wielomian $Q (x)$ jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych. Każdy z nich przedstawimy w postaci iloczynowej. Wyróżnik trójmianu $W (x) = x^{2} - x - 12$ jest równy $∆ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma dwa miejsca zerowe $x = \frac{1 - 7}{2} = - 3$ oraz $x = \frac{1 + 7}{2} = 4$ . Wyróżnik trójmianu $x^{2} - x - 12$ jest równy $∆ = 1 - 4 \cdot (- 12) = 49$ , czyli trójmian ten ma również dwa miejsca zerowe $x = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ oraz $x = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . Ostatecznie więc wielomian $Q (x)$ możemy zapisać w postaci

Q (x) = (x + 3) (x - 4) (x + 4) (x - 3) = (x - 3) (x + 3) (x - 4) (x + 4)

Zauważmy, że $P (x)$ oraz $Q (x)$ opisane są tym samym wzorem, przyjmują więc tę samą wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Ćwiczenie 19

Udowodnij, że dla dowolnego $x$ wartość wielomianu $W (x) = - x^{4} + 10 x^{2} - 25$ jest liczbą niedodatnią.

$W (x) = - x^{4} + 10 x^{2} - 25 = - (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = - {(x^{2} - 5)}^{2} \leq 0$

Ćwiczenie 20

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ takiej, że $|x| \neq \sqrt{3}$ wartość wielomianu $W (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 9$ jest liczbą ujemną.

$W (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 9 = - (x^{4} - 6 x^{2} + 9) = - {(x^{2} - 3)}^{2} \leq 0$ . Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $x^{2} - 3 = 0$ . Równanie to jest równoważne równaniu $x^{2} = 3$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = \sqrt{3}$ oraz $x_{2} = - \sqrt{3}$ . Zauważmy, że dla obu rozwiązań $|x| = \sqrt{3}$ . Zatem, gdy $|x| \neq \sqrt{3}$ wartość jest liczbą ujemną.

Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych – prędkość, droga, czas

Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu