W roku $2015$ na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli wiek, który osiągnę za $15$ lat pomnożę przez wiek, który osiągnę za $55$ lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat?

R12ZFzMEuBV111

"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x

"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

"W roku 2015 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek, który osiągnę za 15 lat pomnożę przez swój wiek, który osiągnę za 55 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. W którym roku urodził się ten jubilat? Oznaczmy przez x wiek jubilata w dniu urodzin w 2015 roku. Wtedy: rok urodzenia jubilata to 2015 ?x

Odpowiedź: Jubilat urodził się w $2001$ roku.

Liczba wszystkich przekątnych pewnego wielokąta foremnego jest równa $135$. Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy liczbę boków wielokąta przez $n$. Wówczas liczba jego przekątnych jest równa $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$.
Otrzymujemy równanie

Stąd

Obliczamy wyróżnik

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są $n_1=\frac{3+33}{2}=18$ oraz $n_2=\frac{3-33}{2}=-15$.
Drugie z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba boków nie może być ujemna. Zatem ten wielokąt jest osiemnastokątem.
Odpowiedź: Ten wielokąt ma osiemnaście boków.

Pole powierzchni bocznej prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równe $280$. Krawędź podstawy jest o $3$ krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz objętość $V$ tego prostopadłościanu.
Oznaczmy przez $x$ długość krawędzi podstawy prostopadłościanu. Wtedy długość jego krawędzi bocznej jest równa $x+3$, a pole powierzchni bocznej jest równe $4\cdot x\cdot \left(x+3\right)$. Otrzymujemy równanie

Stąd

Obliczamy wyróżnik

Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania, którymi są
$x_1=\frac{-3+17}{2}=7$ oraz $x_2=\frac{-3-17}{2}=-10$.
Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania, co oznacza, że jest to prostopadłościan o wymiarach $7,7$ i $10$, a więc jego objętość $V$ jest równa $490$.
Odpowiedź: $\mathrm{V }= 490$.

Geodeta wytyczył teren pod dwie prostokątne działki. Pierwsza działka ma powierzchnię $5600 m^2$. Druga działka ma długość o $20\mathrm{ m}$ większą i szerokość o $5\mathrm{ m}$ większą niż pierwsza oraz powierzchnię większą o $1900 m^2$. Obliczymy wymiary obu działek.
Wprowadzamy oznaczenia:
$x$ – długość pierwszej działki (w metrach),
$y$ – szerokość pierwszej działki (w metrach).
Ponieważ jej powierzchnia jest równa $5600 m^2$, więc $\mathrm{xy}=5600$.
Wtedy druga działka ma wymiary:
długość: $\left(x+20\right)\mathrm{ m}$ oraz szerokość: $\left(y+5\right)\mathrm{ m}$,
a skoro jej pole jest równe $\left(5600+1900\right) m^2$, więc

Uwzględniamy w tym równaniu zależność $\mathrm{xy}=5600$ i przekształcamy je do postaci

Stąd

Obliczamy wyróżnik:

Równanie ma więc dwa rozwiązania, którymi są $y_1=\frac{90+50}{2}=70$ oraz $y_2=\frac{90-50}{2}=20$.
Zatem możliwe są dwa przypadki:
pierwsza działka ma wymiary $80\mathrm{ m}$ i $70\mathrm{ m}$ i wtedy druga ma wymiary $100\mathrm{ m}$ i $75\mathrm{ m}$ lub
pierwsza działka ma wymiary $280\mathrm{ m}$ i $20\mathrm{ m}$ i wtedy druga ma wymiary $300\mathrm{ m}$ i $25\mathrm{ m}$.
Odpowiedź: Możliwe są dwa rozwiązania: pierwsza działka ma wymiary $80\mathrm{ m}$ i $70\mathrm{ m}$, druga – $100\mathrm{ m}$ i $75\mathrm{ m}$ lub pierwsza działka ma wymiary $280\mathrm{ m}$ i $20\mathrm{ m}$, druga – $300\mathrm{ m}$ i $25\mathrm{ m}$.