Zaokrąglanie liczb

W sytuacji, gdy nie potrafimy podać dokładnej wartości liczbowej wyrażenia arytmetycznego, podajemy jego przybliżenie.
W życiu codziennym dość często przybliżamy różne wielkości, np.: cenę, odległość, wzrost, wysokość, długość, wagę.
Używamy w tym celu sformułowań: około, mniej więcej, prawie, w przybliżeniu.

Przykład 1

Ruy6S2u6uiL9b1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poniżej podane są odległości drogowe między poszczególnymi miastami Polski. Zauważ, że w praktyce odległości te podawane są w kilometrach. Jest to pewnego rodzaju przybliżenie, ponieważ nie podajemy tych wartości w metrach, centymetrach czy milimetrach.

Tabela. Dane
Trasa	Rzeczywista odległość	Przybliżona odległość
Łódź – Warszawa	$129,35 km$	$130 km$
Łódź – Lublin	$243,77 km$	$240 km$
Łódź – Zakopane	$300,19 km$	$300 km$
Łódź – Kraków	$209,43 km$	$210 km$
Łódź – Gdańsk	$319,97 km$	$320 km$
Łódź – Wrocław	$197,26 km$	$200 km$

Przykład 2

RJNLVU7enrrsO1

Poniższa tabela przedstawia średnią odległość Słońca od planet Układu Słonecznego. (Wikipedia)

Tabela. Dane
Merkury	$57 909 170 km$
Wenus	$108 208 926 km$
Ziemia	$149 597 887 km$
Mars	$227 936 637 km$
Jowisz	$778 412 027 km$
Saturn	$1 426 725 413 km$
Uran	$2 870 972 220 km$
Neptun	$4 498 252 900 km$

Za średnią odległość Ziemi od Słońca przyjmuje się około $149 600 000 km$ .
Podobnie można przyjąć, że odległość Księżyca od Ziemi wynosi około $380 000 km$ . Czasami nie da się dokonać dokładnego pomiaru danej wielkości.
Przyjmuje się, że powierzchnia Polski wynosi około $312 000 km ²,$ a liczba ludności jest równa około $38,5 mln .$

Przykład 3

R1daRpCJF0Plj1

Najwyższe budynki na świecie

Zjednoczone Emiraty Arabskie – Dubaj – Burdż Chalifa
wysokość rzeczywista $828 m$ – wysokość przybliżona $830 m$
Arabia Saudyjska – Mekka – Abraj Al Bait
wysokość rzeczywista $601 m$ – wysokość przybliżona $600 m$
Tajwan – Tajpej – Taipei $101$
wysokość rzeczywista $509 m$ – wysokość przybliżona $510 m$
Chiny – Szanghaj - Shanghai World Financial Center
wysokość rzeczywista $492 m$ – wysokość przybliżona $490 m$

Symbol ≈ czytamy „równa się w przybliżeniu”.

ii6wseBBvQ_d5e763

Przykład 4

R132yDk8GWCFK1

Zapamiętaj!

Jeżeli cyfrą decydującą o wyniku zaokrąglenia, czyli stojącą w rzędzie następnym po tym, do którego przybliżamy jest $0, 1, 2, 3, 4,$ to cyfra w rzędzie, do którego przybliżamy pozostaje bez zmian, a w rzędach niższych pojawiają się zera. Mówimy, że jest to zaokrąglenie z niedomiarem ( w dół).
Jeżeli cyfrą decydującą o wyniku zaokrąglenia, czyli stojącą w rzędzie następnym po tym, do którego przybliżamy jest $5, 6, 7, 8, 9,$ to cyfra w rzędzie, do którego przybliżamy zostaje zwiększona o jeden, a w rzędach niższych pojawiają się zera. Mówimy, że jest to zaokrąglenie z nadmiarem ( w górę)

Przykład 5

RhY1aGxtkddnS1

ii6wseBBvQ_d5e892

Ćwiczenie 1

Podczas Finału Wielkiej Orkiestry Świątecznej Pomocy została zebrana kwota $50 657 747,68 zł$ . Zapisz tę liczbę z dokładnością do

tysięcy złotych
dziesiątek tysięcy złotych
setek tysięcy złotych

$50658000 zł$
$50660000 zł$
$50700000 zł$

Ćwiczenie 2

Podaj zaokrąglenia podanych liczb do części dziesiątych oraz do części setnych.

$2, (63)$
$4 \frac{2}{7}$
$6, (6)$
$652,24$
$2 \frac{1}{8}$
$6, (629)$

do części dziesiątych: $a \approx 2,6; b \approx 4,3; c \approx 6,7; d \approx 652,2; e \approx 2,1; f \approx 6,6$
do części setnych: $a \approx 2,64; b \approx 4,29; c \approx 6,67; d \approx 652,24; e \approx 2,13; f \approx 6,63$

classicmobile

Ćwiczenie 3

RRNUt0RnGnQHv1

Przeciagnij elementy z dolnej sekcji do górnej.

rozwinięcia skończone
rozwinięcia nieskończone okresowe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 3

Które liczby mają rozwinięcia dziesiętne skończone, a które nieskończone okresowe.
$$$ Uczeń przeciąga liczby, które mają rozwinięcie dziesiętne skończone i te, które mają rozwinięcie nieskończone okresowe do zestawienia:

rozwinięcia skończone:
rozwinięcia nieskończone okresowe:

$2, (63)$
$4 \frac{2}{7}$
$6, (6)$
$652,24$
$2 \frac{1}{8}$
$6, (629)$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rx0jnC5vysKDa1

Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej.

$6, (629)$
$652, 24$
$6, (6)$
$2 \frac{1}{8}$
$2, 63$
$4 \frac{2}{7}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

static

Ćwiczenie 4

Ustaw w kolejności rosnącej zaokrąglenia liczb do części dziesiątych.

$2, (63)$
$4 \frac{2}{7}$
$6, (6)$
$652,24$
$2 \frac{1}{8}$
$6, (629)$

kolejność rosnąca: $2,1; 2,6; 4,3; 652,2; 6,6; 6,7 .$

Ćwiczenie 5

Tabela przedstawia odległości Słońca od planet Układu Słonecznego. Zaokrąglij liczby podane w tabeli do setek tysięcy.

Tabela. Dane
Merkury	$57 909 170 km$
Wenus	$108 208 926 km$
Ziemia	$149 597 887 km$
Mars	$227 936 637 km$
Jowisz	$778 412 027 km$
Saturn	$1 426 725 413 km$
Uran	$2 870 972 220 km$
Neptun	$4 498 252 900 km$

Merkury: $57 900 000 km$
Wenus: $108 200 000 km$
Ziemia: $149 600 000 km$
Mars: $227 900 000 km$
Jowisz: $778 400 000 km$
Saturn: $1 426 700 000 km$
Uran: $2 871 000 000 km$
Neptun: $4 498 300 000 km$

Ćwiczenie 6

Poniższa tabela przedstawia średnie kursy wybranych walut zanotowane pewnego dnia.

Tabela. Dane
Nazwa waluty	Kurs średni
Dolar amerykański	$3,0271$
Euro	$4,1805$
Frank szwajcarski	$3,3876$
Korona czeska	$0,1625$
Lit litewski	$1,2108$
Lira turecka	$1,5289$
Łat łotewski	$5,9475$

Podaj wartości średnich kursów walut zaokrąglone do

części setnych
części dziesiątych.
Tabela. Dane
Nazwa waluty
Zaokrąglenie do części setnych
Zaokrąglenie do części dziesiątych
Dolar amerykański
Euro
Frank szwajcarski
Korona czeska
Lit litewski
Lira turecka
Łat łotewski

Ćwiczenie 7

Podaj przykład dwóch różnych liczb, których zaokrąglenie do części setek jest równe

$23500$
$668000$

Ćwiczenie 8

Podaj przykład dwóch różnych liczb, których zaokrąglenie do części setnych jest równe

$23,54$
$1258,09$

Na przykład:

$23, 542; 23, 539$
$1258, 0,91; 1258, 097$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy podane przybliżenie jest zgodne z regułami zaokrąglania.

R1Y0WrlA3a2It

$\frac{2}{3} \approx 0,6$
$0, (24) \approx 0,24$
$0,11999 \approx 0,1199$
$0, (653) \approx 0,653$
$0,291 \approx 0,29$

static

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy podane przybliżenie jest zgodne z regułami zaokrąglania.

R14oo9D5EJ1nW

$\frac{2}{3} \approx 0,6$
$0, (24) \approx 0,24$
$0,11999 \approx 0,1199$
$0, (653) \approx 0,653$
$0,291 \approx 0,29$

Ćwiczenie 10

Podaj zaokrąglenia liczb zaznaczonych na osi liczbowej

do części dziesiątych
R1KrevCcfCc4A1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
do części setnych
Rz3cySWULQNyk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
do setek
RSvmP04x46o231
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a \approx 2, b \approx 2,1, c \approx 2,1$
$a \approx 8,65, b \approx 8,66, c \approx 8,68$
$a \approx 700, b \approx 700, c \approx 800$

Ćwiczenie 11

Zaokrąglij liczby $x = 386,371$ , $y = 76,854$ do części

dziesiątych
setnych

Podaj przykłady liczb mniejszych i większych od podanych, tak aby przybliżenie do odpowiedniego rzędu było takie samo.

$x \approx 386,4; y \approx 76,9$
$x \approx 386,37; y \approx 76,85$

Nieskończenie wiele rozwiązań.

ii6wseBBvQ_d5e1303

Ćwiczenie 12

Ania obchodzi urodziny $10$ września. W dniu swojego święta postanowiła poczęstować koleżanki i kolegów z klasy tortem, który ważył $1,53 kg$ . Ile będzie ważyła część tortu, którą otrzyma każdy uczeń klasy, która wraz z Anią liczy $27$ osób? Wynik podaj z dokładnością do części setnych grama.

$56,67 g$

Ćwiczenie 13

Przed planowanym urlopem nad morzem rodzina Nowaków wybrała się na zakupy do centrum sportowego. Dla syna Mateusza kupili następujące akcesoria do nurkowania:

skafander za $1597 z ł$
kamizelkę za $1566 z ł$
skrzydła za $1539 z ł$
butlę za $1493 z ł$
latarkę za $1488 z ł$

Mateusz zaokrąglił do dziesiątek złotych cenę każdego produktu i otrzymane kwoty dodał. Natomiast rodzice dodali poszczególne kwoty i dopiero otrzymaną sumę zaokrąglili do dziesiątek złotych. Czy państwo Nowakowie otrzymali taką sama kwotę jak ich syn? Jeśli tak – odpowiedź uzasadnij. Jeśli nie, to która kwota jest bliższa rzeczywistej wartości zakupów i dlaczego.

Nie.
Mateusz: $7690 z ł$ ; Rodzice: $7680 z ł$ . Wartość rzeczywista zakupów: $7683 z ł$ . Bliższa jest kwota uzyskana przez rodziców – zaokrąglenie z niedomiarem.

Ćwiczenie 14

Zapisz, ile jest liczb naturalnych parzystych, których zaokrąglenie do

dziesiątek jest równe $50$
setek jest równe $500$
tysięcy jest równe $5000$
dziesiątek tysięcy jest równe $50000$

$5$
$50$
$500$
$5000$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Liczba $245,987$ zaokrąglona do części setnych jest równa

R11kXgB5UUsEQ

$245,97$
$245,98$
$245,99$
$246$

static

Ćwiczenie 15

Liczba $245,987$ zaokrąglona do części setnych jest równa

RPHJOl4NbSF6p

$245,97$
$245,98$
$245,99$
$246$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Liczba $989898989$ zaokrąglona do tysięcy jest równa

R1eEGkzyfVdh0

$989899989$
$989898000$
$989899000$
$989899098$

static

Ćwiczenie 16

Liczba $989898989$ zaokrąglona do tysięcy jest równa

R1RkWvX7JGhd8

$989899989$
$989898000$
$989899000$
$989899098$

classicmobile

Ćwiczenie 17

Najmniejszą liczbą naturalną, która po zaokrągleniu do dziesiątek ma wartość $16570$ jest

REBtTiJUtKRIY

$16575$
$16565$
$16574$
$16569$

static

Ćwiczenie 17

Najmniejszą liczbą naturalną, która po zaokrągleniu do dziesiątek ma wartość $16570$ jest

R19r6qgii7k6A

$16575$
$16565$
$16574$
$16569$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Na osi liczbowej zaznaczono punkt $A$ .

RimyHKFB2q8ct1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami 4 i 5. Punkt A znajduje się między 4,2 i 4,3, bliżej 4,3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Różnica między zaokrągleniem współrzędnej tego punktu do części dziesiątych a zaokrągleniem do jedności jest równa

R1KMEcfULdhit

$0,2$
$0,4$
$0,3$
$0,7$

static

Ćwiczenie 18

Na osi liczbowej zaznaczono punkt $A$ .

RimyHKFB2q8ct1

Różnica między zaokrągleniem współrzędnej tego punktu do części dziesiątych a zaokrągleniem do jedności jest równa

R42xQlBotOxxL

$0,2$
$0,4$
$0,3$
$0,7$

Ćwiczenie 19

Zaokrąglenie współrzędnej zaznaczonego na osi liczbowej punktu $A$ do podanych rzędów jest równe

do rzędu części setnych
do rzędu części tysięcznych
do rzędu części dziesięciotysięcznych
RxI48StBX68fC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3,39$
$3,386$
$3,3857$

Ćwiczenie 20

Poszukaj informacji dotyczących powierzchni i ludności w województwach sąsiadujących z województwem, w którym mieszkasz. Wyniki przedstaw w tabeli. Wartości liczbowe podaj z dokładnością do tysięcy.

Kolejność wykonywania działań

Szacowanie wartości wyrażeń arytmetycznych

Nazwa waluty	Zaokrąglenie do części setnych	Zaokrąglenie do części dziesiątych
Dolar amerykański
Euro
Frank szwajcarski
Korona czeska
Lit litewski
Lira turecka
Łat łotewski