Przypomnijmy wzory na pole i obwód koła.
Pole koła $P=\pi r^2$ oraz obwód koła $L=2\mathrm{\pi r}$, gdzie $\pi \approx \mathrm{3,14159}$ jest stałą matematyczną definiowaną jako stosunek obwodu koła do jego średnicy.

Wycinek koła

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła nazywamy każdą z dwóch jego części wyznaczonych przez dwa promienie tego koła wraz z tymi promieniami. Kąt pomiędzy tymi promieniami nazywamy kątem wycinka.

R1Ln1hoIdTjvs1

Rysunek koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie ASC =alfa.

Przykład 1

Obliczmy pole wycinka koła o promieniu $3$, którego kąt jest równy $\alpha =45°$.
Zastanówmy się, jaką częścią całego koła jest ten wycinek.

R1W9gtDUWdFl41

Rysunek koła o środku S z zaznaczonym wycinkiem koła o kącie równym 45 stopni.

Zauważmy, że $\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}$. Zatem pole wycinka stanowi ósmą część pola koła.

$P_{\mathrm{wycinka}}=\frac{1}{8}{P}_{\mathrm{koła}}$

$P_{\mathrm{wycinka}}= \frac{1}{8}{\mathrm{\pi r}}^2$

$P_{\mathrm{wycinka}}= \frac{1}{8}{\bullet \pi \bullet 3}^2=\frac{9}{8}\pi$

 Odcinek koła

Definicja:  Odcinek koła

Odcinkiem koła nazywamy każdą z dwóch części, na jakie dzieli to koło jego cięciwa wraz z tą cięciwą i łukiem okręgu.

RSPCWKZN76hd81

Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na części łuku okręgu.

R9EFnB8iVv7rB1

Rysunek koła o środku S z poprowadzoną cięciwą AB. Rysunek pokazuje definicję odcinka koła na drugim łuku okręgu.

RTMBbAI65vQyE1

Animacja pokazuje, jak obliczyć pole odcinek koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole odcinka koła jest równe różnicy lub sumie pola wycinka koła i pola trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej.

Animacja pokazuje, jak obliczyć pole odcinek koła o środku w punkcie S i kącie środkowym alfa wykorzystując pole wycinka koła i trójkąta A B S. Pole odcinka koła jest równe różnicy lub sumie pola wycinka koła i pola trójkąta A B S. Pole wycinka równa się iloczynowi ilorazu alfa przez 360 stopni i pi r do potęgi drugiej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D15S1KI9q

Obliczymy pole odcinka koła.

• przypadek $I$

Środek koła leży na zewnątrz odcinka koła. Wtedy pole tego odcinka jest mniejsze od połowy pola koła.
Połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego $\mathrm{ASB}$, a kąt $\alpha$ między ramionami $\mathrm{SA}$ i $\mathrm{SB}$ jest kątem wycinka koła $\mathrm{ASB}$. Pole odcinka koła obliczymy, odejmując od pola wycinka pole trójkąta $\mathrm{ASB}$.

R7w2Qruo5AMID1

Rysunek koła o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono cięciwę AB.

• przypadek $\mathrm{II}$

Środek koła leży wewnątrz odcinka koła. Pole odcinka jest wtedy większe od połowy pola koła. Tak jak poprzednio, połączmy końce cięciwy ze środkiem okręgu. Otrzymane promienie wraz z cięciwą są bokami trójkąta równoramiennego $\mathrm{ASB}$. Między ramionami $\mathrm{SA}$ i $\mathrm{SB}$ znajduje się kąt $\alpha$. Pole odcinka koła obliczymy, dodając pole trójkąta $\mathrm{ASB}$ do pola wycinka.

Rp8ZXympT1Urh1

Rysunek koła o środku w punkcie S i kącie wycinka koła opartego na łuku AB równym alfa. Poprowadzono cięciwę AB.

• przypadek $\mathrm{III}$

Środek koła leży na cięciwie $\mathrm{AB}$.
Cięciwa $\mathrm{AB}$ jest wtedy średnicą koła o promieniu $r$. Każdy z dwóch wyznaczonych przez nią odcinków koła jest półkolem o polu $\frac{\pi r^2}{2}$.