Równanie liniowe

Obliczanie miejsca zerowego funkcji liniowej

f (x) = ax + b

sprowadza się do rozwiązania równania z niewiadomą $x$ postaci
$ax + b = 0$ , dla ustalonych wartości współczynników $a$ i $b$ . Takie równanie nazywamy równaniem liniowym.

Jeśli $a \neq 0$ , to mamy $ax = - b$ , skąd $x = - \frac{b}{a}$ . Wynika z tego, że każda funkcja liniowa $f (x) = ax + b$ , gdzie $a \neq 0$ , ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x_{0} = - \frac{b}{a}$ . Korzystając z poznanych własności funkcji liniowej, zauważmy też, że dla $a \neq 0$ funkcja $f (x) = ax + b$ nie jest stała (jest rosnąca dla $a > 0$ , malejąca dla $a < 0$ ), zatem prosta będąca jej wykresem przecina oś $Ox$ w dokładnie jednym punkcie $(- \frac{b}{a}, 0)$ .
Jeśli $a = 0$ , to funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = b$ . Jest to funkcja stała.

Gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ , to równanie $f (x) = 0$ jest sprzeczne, więc w tym przypadku funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych. Wykresem takiej funkcji liniowej jest prosta równoległa do prostej o równaniu $y = 0$ i przecinająca oś $Oy$ w punkcie $(0, b)$ .
Gdy $a = 0$ i $b = 0$ , to funkcja $f$ jest tożsamościowo równa $0$ , to znaczy, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość zero. W tym przypadku funkcja $f$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Każda liczba rzeczywista jest miejscem zerowym funkcji $f$ .Wykres takiej funkcji liniowej pokrywa się z prostą o równaniu $y = 0$ .

Przykład 1

Rozwiążemy równania.

$\frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 5}{6} = \frac{3}{4}$

Przekształcamy równanie równoważnie. Najpierw mnożymy je obustronnie przez $12$

6 (x + 1) - 2 (2 x - 5) = 9 .

Stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania otrzymujemy:

6 x + 6 - 4 x + 10 = 9

2 x = - 7

Równanie ma jedno rozwiązanie $x = - \frac{7}{2}$ .

${(x + 2)}^{2} = (x - 2) (x + 2)$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} - 4 .

Po zredukowaniu $x^{2}$ otrzymujemy równanie liniowe:

4 x + 4 = - 4

4 x = - 8

x = - 2 .

Równanie ma zatem jedno rozwiązanie $x = - 2$ .

$(x + 3) (x - 3) + 2 x = {(x + 1)}^{2}$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia

x^{2} - 9 + 2 x = x^{2} + 2 x + 1 .

Po zredukowaniu $x^{2}$ i $2 x$ otrzymujemy równość sprzeczną

0 ∙ x = 10 .

A zatem równanie nie ma rozwiązań.

$3 x^{2} + (x - 1) (x + 1) + 10 = {(2 x - 3)}^{2} + 12 x$

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując najpierw wzory skróconego mnożenia:

3 x^{2} + x^{2} - 1 + 10 = 4 x^{2} - 12 x + 9 + 12 x .

Po zredukowaniu otrzymujemy

0 ∙ x = 0 .

Rozwiązaniem równania jest każda liczba rzeczywista $x$ .

RJ89HTmugtbOP1

Zadania generatorowe

Nierówność liniowa