2.10. Prawo Archimedesa

Kiedy wychodzisz z basenu na brzeg, to masz wrażenie, że ważysz więcej. Ciężar zależy od masy. Ale masa w czasie przebywania w wodzie jest taka sama jak poza basenem! Okazuje się, że w wodzie działa na nas dodatkowo siła wyporu. Dowiedz się, dlaczego ta siła się pojawia i od czego zależy jej wartość.

Już potrafisz: 

  • podać definicję ciśnienia jako wielkości fizycznej będącej stosunkiem działającej siły do powierzchni, na jaką ta siła działa;
  • wykazać, że paskal (Pa) to podstawowa jednostka ciśnienia w układzie SI;
  • podać treść prawa Pascala;
  • podać definicję ciśnienia hydrostatycznego jako ciśnienia wywieranego przez słup cieczy będącej w spoczynku;
  • zapisać zależność ciśnienia hydrostatycznego od wysokości słupa cieczy, gęstości cieczy i przyspieszenia grawitacyjnego ;
  • wykazać, że ciśnienie aerostatyczne wywierane jest przez gazy będące w spoczynku;
  • mierzyć ciężar ciała za pomocą siłomierza lub odpowiedniej wagi;
  • obliczać gęstość ciała jako stosunku masy ciała do jego objętości.

Nauczysz się: 

  • posługiwać pojęciem siły wyporu;
  • wymieniać cechy siły wyporu;
  • podawać warunek pływania i przewidywać, czy dane ciało będzie pływać, czy – tonąć;
  • wskazywać przykłady wpływu siły wyporu na ciała w otaczającym nas świecie;
  • ilustrować graficznie siły działające na ciało zanurzone w cieczy i gazie;
  • wyznaczać doświadczalnie wartość siły wyporu za pomocą siłomierza;
  • podawać treść prawa Archimedesa dla cieczy i gazów.

1. Siła wyporu

Czy ciężar ciała ulega zmianie po zanurzeniu w wodzie? Dlaczego wydaje się nam, że jesteśmy lżejsi podczas kąpieli w wannie, niż gdy z niej wyjdziemy?
Skąd bierze się ta odczuwalna różnica w ciężarze? Przecież masa ciała nie ulega zmianie. Aby znaleźć odpowiedź na to pytanie, przeprowadź doświadczenie.

[DO WYKONANIA POD NADZOREM OSOBY DOROSŁEJ]Doświadczenie 2.10.1.

Problem badawczy:  
Czy woda wpływa na ciężar zanurzonego w niej ciała?
Hipoteza: 
Ciężar ciała zanurzonego w wodzie jest mniejszy od ciężaru tego samego ciała znajdującego się w powietrzu.
Co będzie potrzebne: 
  • siłomierz;
  • statyw;
  • prostopadłościany o tych samych wymiarach, wykonane z różnych metali, np. z miedzi, aluminium i mosiądzu;
  • zlewka z wodą.
Instrukcja: 
  1. 1)
    Na cienkiej nitce lub druciku zawieś pierwszy prostopadłościan. Za pomocą siłomierza wyznacz ciężar tego prostopadłościanu.
  2. 2)
    Wynik zapisz w tabeli.
  3. 3)
    Zawieszony prostopadłościan zanurz całkowicie w zlewce z wodą; nie zanurzaj haczyka samego siłomierza.
  4. 4)
    Odczytaj ponownie wynik i zapisz wskazania siłomierza.
  5. 5)
    Wykonaj takie same pomiary dla pozostałych prostopadłościanów.
    Tabela 1. Tabela pomiarów do doświadczenia (możesz użyć prostopadłościanów z innych materiałów, ale muszą one tonąć w wodzie)
     Prostopadłościan z miedziProstopadłościan z aluminiumProstopadłościan z mosiądzu
    Wskazania siłomierza, gdy prostopadłościan znajduje się w powietrzu Q [N]   
    Wskazania siłomierza, gdy prostopadłościan znajduje się w wodzie P[N]   
    Różnica powyższych wskazań siłomierza     
Podsumowanie: 
Doświadczenie pokazało, że wskazania siłomierza podczas pomiaru, gdy ciało było zanurzone w wodzie, są mniejsze niż podczas pomiaru, gdy znajdowało się ono w powietrzu.. Różnica między pomiarami nie zależy od materiału, z jakiego wykonane są prostopadłościany, i jest zawsze stała, pod warunkiem że ich objętości są takie same. Zaobserwowana prawidłowość dotyczy wszystkich cieczy.
Wyjaśnijmy to zjawisko: na ciało zanurzone w dowolnej cieczy działa dodatkowa siła, która ma zwrot przeciwny w stosunku do siły grawitacji. Wielkość tej siły można łatwo zmierzyć – jej wartość jest równa różnicy między wskazaniami siłomierza, gdy ciało znajduje się w powietrzu i gdy jest zanurzone w cieczy. Siła ta nazywana jest siłą wyporu, a jej wartość nie zależy od rodzaju substancji, z której wykonane jest dane ciało.
Demonstracja: 

siła wyporu

– siła działająca na ciało zanurzone w cieczy, zwrócona ku górze, czyli przeciwnie do ciężaru ciała.

Zadanie 2.10.1.

2. Od czego zależy siła wyporu

Wiemy już, czym jest siła wyporu. Wiemy również, że na jej wielkość nie ma wpływu materiał, z jakiego zbudowane jest dane ciało. Spróbujmy teraz znaleźć te wielkości fizyczne, od których zależy siła wyporu.

Polecenie 2.10.1.

Wskazówka

Uważnie prześledź film pt. „Od czego zależy siła wyporu?”.
Czy siła wyporu zależy od kształtu ciała? Jak zmieni się siła wyporu, gdy w cieczy najpierw zanurzymy ciało o większej objętości, a następnie – o mniejszej. Zaprojektuj i przeprowadź doświadczenie.

Polecenie 2.10.2.

Wskazówka

Uważnie prześledź film pt. „Od czego zależy siła wyporu?”.
Czy siła wyporu zależy od gęstości cieczy, w której zanurzone jest ciało? Zaprojektuj i przeprowadź doświadczenie.
Podczas doświadczenia wykonanego w poprzedniej części lekcji mogliście stwierdzić, że siła wyporu nie zależy od rodzaju ciała; jest taka sama dla dwóch ciał, pod warunkiem że ich objętości są jednakowe.
Wykonałeś doświadczenia opisane w poniższych poleceniach:
  • czy siła wyporu zależy od kształtu ciała i od jego objętości?
  • czy siła wyporu zależy od gęstości cieczy, w której zanurzone jest ciało?
Dzięki nim mogłeś się przekonać, że siła wyporu działająca na ciało zanurzone w cieczy zależy zarówno od objętości ciała, jak i od gęstości cieczy.
Można jeszcze przeprowadzić doświadczenia badające, czy siła wyporu zależy od: ilości cieczy, w której zanurzamy ciało, gęstości lub kształtu tego ciała o tej samej objętości. Jednak siła wyporu nie zależy od tych czynników.
Wniosek z przeprowadzonych doświadczeń jest następujący: Jeżeli ciało zanurzone jest całkowicie, to objętość wypartej cieczy jest równa objętości ciała. Aby obliczyć masę wypartej cieczy, wystarczy przekształcić wzór na gęstość:

gdzie: m – masa wypartej cieczy; d – gęstość cieczy; V – objętość zanurzonego ciała.
Ciężar cieczy wypartej przez ciało wynosi:
gdzie: P – ciężar wypartej cieczy; g – przyspieszenie ziemskie.

Doświadczenie 2.10.2.

Cel: 
Wyznaczyć wielkość siły wyporu działającej na woreczek z wodą zanurzony w wodzie.
Co będzie potrzebne: 
  • plastikowy woreczek;
  • gumka recepturka;
  • zlewka z wodą;
  • siłomierz.
Instrukcja: 
  1. 1)
    Napełnij wodą plastikowy woreczek i zawiąż go szczelnie, najlepiej gdy trzymasz go pod wodą (całkowicie zanurzony), tak aby w środku nie pozostały pęcherzyki powietrza.
  2. 2)
    Za pomocą siłomierza zważ woreczek, gdy ten znajduje się w powietrzu i gdy jest zanurzony. Wyznacz wielkość siły wyporu działającej na ten woreczek po zanurzeniu go w wodzie.
Podsumowanie: 
Siłomierz wskazał wielkość siły wynoszącą w przybliżeniu 0 N. Jak wyjaśnić rezultat tego doświadczenia? Siła wyporu zrównoważyła ciężar woreczka z wodą! Mogło tak się stać, ponieważ ciecz w woreczku i ciecz, w której został on zanurzony, były takie same. Ciężar Q ciała wynosi:

gdzie: m – masa ciała (woreczka z wodą); g – przyspieszenie ziemskie. Ponieważ , zatem:

gdzie: d – gęstość wody.
Ze wzorów na ciężar wypartej cieczy i zanurzonego w niej ciała zanurzonego otrzymujemy:

Ciężar ciała (Q) w naszym doświadczeniu równy jest wartości siły wyporu (Fw), która z kolei odpowiada ciężarowi wypartej wody (P).
Powyższa zależność oraz wyniki doświadczeń przeprowadzonych na filmie pt. „Od czego zależy siła wyporu?” pozwalają wyciągnąć wniosek, że równość siły wyporu i ciężaru wypartej cieczy:

ma charakter ogólny.

Zapamiętaj

Siła wyporu jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez ciało zanurzone w cieczy.

Zadanie 2.10.2.

3. Prawo Archimedesa dla cieczy

Jak głosi legenda, Archimedes z Syrakuz – grecki uczony żyjący w III wieku p.n.e. – podczas kąpieli w wannie odkrył, że ciało wypiera tyle wody, ile ma objętości. Pozwoliło to Archimedesowi rozwikłać zagadkę, z jakiego materiału wykonana jest korona króla Syrakuz. Złoto ma większą gęstość niż srebro, a zatem korona ze złota ma mniejszą objętość niż korona z zawartością srebra. Innymi słowy: złota korona wypiera mniej wody niż korona z domieszką srebra. Mimo że obie korony mają tę samą masę, druga z nich ma większą objętość (z powodu zawartości srebra).
Prawo Archimedesa określa siłę wyporu jako ciężar cieczy wypartej przez ciało. Jest zgodne z wnioskami płynącymi z naszych wcześniejszych doświadczeń.

Prawo: 2.10.1prawo Archimedesa

Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu zwrócona ku górze i równa pod względem wartości ciężarowi wypartej cieczy.
Dowód
Wartość siły wyporu obliczamy według wzoru:

gdzie:
– gęstość wypartej cieczy;
– objętość wypartej cieczy;
– przyspieszenie ziemskie.
Zastanówmy się teraz, skąd bierze się siła wyporu i jak można obliczyć jej wartość.

Zadanie 2.10.3.

4. Tonąć albo nie tonąć – oto jest pytanie

Dlaczego niektóre ciała toną, a inne – nie? Zapewne nie zaskoczy nikogo wynik eksperymentu polegającego na wrzuceniu metalowej śruby do wody. Spójrzmy na ten problem od strony fizyki.
Jakie siły działają na ciało zanurzone w cieczy? Działają na nie siła wyporu (Fw), zwrócona ku górze, oraz siła ciężkości (Q), zwrócona w dół. Gdy ciało tonie, siła wyporu ma mniejszą wartość od siły ciężkości i ciało opada na dno ().
Ciężar cieczy wypartej przez ciało jest mniejszy niż ciężar zanurzonego ciała. Ponieważ objętość wypartej cieczy i objętość zanurzonego ciała są takie same, można wyciągnąć wniosek, że gęstość cieczy jest mniejsza od gęstości ciała.

Zapamiętaj

Ciało tonie w cieczy, gdy jego gęstość jest większa niż gęstość cieczy, w której jest ono zanurzone.

Zadanie 2.10.4.

Dlaczego ciała pływają?
Gdy wartości siły wyporu (Fw) i siły ciężkości (Q) są sobie równe (siły Fw i Q się równoważą), to ciało pływa, przy czym jest całkowicie lub częściowo zanurzone. Jeśli jest zanurzone w całości, gęstości ciała i cieczy są sobie równe.

Zapamiętaj

Ciała nie toną i pływają całkowicie zanurzone w cieczy (na dowolnej głębokości), gdy ich gęstość jest równa gęstości cieczy.
Gdy siła wyporu (Fw) jest większa od ciężaru ciała (Q), ciało wypływa na powierzchnię cieczy. Trwa to dopóty, dopóki ciężar ciała nie zostanie całkowicie zrównoważony przez siłę wyporu ().

Zapamiętaj

Ciała pływają w cieczy częściowo zanurzone, gdy ich gęstości są mniejsze od gęstości cieczy, w której zostały zanurzone.

Polecenie 2.10.3.

Skorzystaj z aplikacji i przeprowadź samodzielnie eksperymenty dotyczące siły wyporu i jej zależności od gęstości cieczy, od objętości zanurzonego ciała oraz rodzaju materiału, z jakiego wykonano ciało.

Zadanie 2.10.5.

Ciekawostka

Dlaczego statki pływają po powierzchni wody, mimo że wykonane są ze stali, której gęstość jest blisko 8 razy większa od gęstości wody?
Aby statek nie zatonął, musi wyprzeć odpowiednio dużą objętość wody. Przyjrzyjmy się jego budowie.
Ukształtowanie kadłuba w formie cienkiej stalowej skorupy, która jest pusta w środku, powoduje, że objętość wody, jaką kadłub wypiera, jest wystarczająca duża, by siła wyporu zrównoważyła ciężar statku i jego ładunku. Dzięki temu jednostka pływająca może bezpiecznie dotrzeć do portu.

Ciekawostka

Każdy statek wypiera ogromną ilość wody. Masę wypartej wody nazywa się wypornością statku i wyraża się ją w tonach.
Każdy statek podczas załadunku zwiększa swoją głębokość zanurzenia i ze względów bezpieczeństwa określa się dopuszczalną ładowność statku.
Ładowność ta będzie różna w zależności od tego, czy statek stoi w wodzie słonej, czy – słodkiej, i od tego, czy załadunek odbywa się zimą, czy – latem. Znakiem informującym o tym, czy nie przekroczono dopuszczalnej masy załadunku, jest znak wolnej burty.
Oznaczenia na rysunku wskazują, do jakiej linii na burcie może zanurzyć się statek. Wyjaśnijmy, co kryje się za powyższymi skrótami: TS – tropikalna woda słodka; S – woda słodka; T – tropikalna woda słona; L – woda słona w porze letniej; Z – woda słona w porze zimowej; ZAP – woda słona w porze zimowej dla Atlantyku Północnego.

Ciekawostka

Morze Martwe to w rzeczywistości bardzo duże jezioro znajdujące się na granicy między Izraelem a Jordanią.
Zasolenie wody w Morzu Martwym jest aż dziesięciokrotnie wyższe od zasolenia wód Bałtyku! Sól jest zabójcza prawie dla wszystkich żywych organizmów i jej zawartość w Morzu Martwym wynosi aż 24%. Czy już domyślasz się, skąd wzięła się jego nazwa? Gęstość tak bardzo słonej wody jest znacznie większa od gęstości wody słodkiej i – jak to wiemy z prawa Archimedesa – ma to wpływ na wielkość siły wyporu. Jest ona na tyle duża, że bez problemu pozwala zrównoważyć ciężar człowieka unoszącego się na powierzchni wody. W Morzu Martwym bardzo trudno jest się utopić!

Ciekawostka

Zanurzanie i wynurzanie łodzi podwodnej
Dzięki zalaniu zbiorników balastowych wodą możliwe jest zanurzenie. Wtedy średnia gęstość łodzi wzrasta wzrasta, a siła wyporu staje się mniejsza od ciężaru statku. Gdy łódź podwodna chce się wynurzyć, do zbiorników balastowych wtłaczane jest sprężone powietrze, które wypycha z nich wodę – wtedy łódź wypływa na powierzchnię lub zmniejsza zanurzenie. Średnia gęstość maleje, a siła wyporu przewyższa ciężar statku.

Ciekawostka

Areometr to przyrząd do wyznaczania gęstości cieczy, wykorzystujący prawo Archimedesa.
Areometr składa się z zamkniętej, wąskiej, szklanej rurki. W jego dolnej części znajduje się obciążenie w postaci zbiorniczka z rtęcią lub kuleczkami śrutu. Dzięki temu areometr utrzymuje się w pionie i pływa w cieczy. Gdy areometr pływa (jest częściowo zanurzony w cieczy), to jego ciężar jest równoważony przez siłę wyporu (prawo Archimedesa). Im mniejsza jest gęstość tej cieczy, tym większa musi być objętość wypartej cieczy, by zrównoważyć ciężar przyrządu. W cieczach o mniejszej gęstości areometr zanurza się głębiej, a w cieczach o większej gęstości – płycej. Wystarczy więc tylko nanieść odpowiednią skalę w górnej części areometru, by wygodnie mierzyć gęstości różnych płynów.

Ciekawostka

Batyskaf to jednostka pływająca pozwalająca zanurzać się na największe głębokości morskie dostępne na Ziemi (np. Rów Mariański – ok. 11 km). Jest to taki podmorski balon. Załoga podróżuje w szczelnej, kulistej gondoli, wykonanej z grubej stali. Taki kształt pozwala przeciwstawić się ekstremalnym ciśnieniom. Gondola podwieszona jest pod wielkim pływakiem wypełnionym w całości lekką cieczą, najczęściej benzyną. Pływak to odpowiednik powłoki balonu wypełnionej gazem o gęstości mniejszej od powietrza. Dzięki temu, że pływak wypełniony jest nieściśliwą cieczą, nie ulega on zgnieceniu nawet pod wpływem wielkich ciśnień panujących na dużych głębokościach. Wynurzenie (czyli ruch w górę) – podobnie jak w balonie wypełnionym gazem – następuje po wyrzuceniu balastu w postaci metalowego śrutu.

Polecenie 2.10.4.

Zastanów sie i zapisz, dlaczego balony nie są już wypełniane wodorem, tylko helem.

5. Siła wyporu w gazach

Wiemy, co jest źródłem siły wyporu działającej na ciała zanurzone w cieczy. Czy podobna siła wyporu będzie działać na ciała zanurzone w gazie?
Jeden balonik jest wypełniony powietrzem (na filmie oznaczonym symbolicznie O2), a drugi helem. Z tego doświadczenia można wywnioskować, że na ciała zanurzone w gazie (podobnie jak dzieje się to w przypadku cieczy), działa siła wyporu. I jest tak w rzeczywistości.
Prawo Archimedesa dla gazów: Na każde ciało zanurzone w gazie działa siła wyporu zwrócona ku górze i równa pod względem wartości ciężarowi gazu wypartego przez to ciało.

Ciekawostka

17 września 1783 roku w Wersalu odbyło się widowisko zapierające dech. Tuż po godzinie dwunastej wzniósł się w górę po raz pierwszy balon na gorące powietrze. Był to pierwszy taki lot w historii. Pasażerami zaś były kogut, owca oraz kaczka.
Balon osiągnął wysokość 440 m i przeleciał dystans ok. 3 km. Jego konstruktorami byli francuscy papiernicy – bracia Joseph i Jacques Montgolfier.
Eksperymentowali oni wcześniej z papierowymi torebkami wypełnianymi gorącym dymem z ogniska. Z czasem wykonywali coraz większe torebki, aż w końcu skonstruowali balon o średnicy ponad 10 m. Dzień 5 czerwca 1783 r., kiedy to po raz pierwszy wzniósł się ich największy wówczas balon (jeszcze bez załogi) uznano za moment narodzin lotnictwa.
Człowiek po raz pierwszy wzniósł się w balonie w październiku 1783 r., ale wtedy balon był na uwięzi. Już miesiąc później odbył się swobodny lot na wysokości 100 m. W czasie 25-minutowego lotu ludzie w koszu balonu pokonali odległość 9 km.
W tym samym czasie konstruowano balony wypełniane wodorem. Pierwszy lot ludzi w takim balonie odbył się 1 grudnia 1783 roku.
Obecnie balony są wypełniane albo gorącym powietrzem, albo helem.

Podsumowanie

  • Zwykle prawo Archimedesa formułujemy wspólnie dla cieczy i gazów.

Zapamiętaj

Prawo Archimedesa
Na każde ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) działa siła wyporu zwrócona ku górze i równa pod względem wartości ciężarowi wypartej cieczy (lub wypartego gazu).
  • Prawo Archimedesa znalazło szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach przemysłu i techniki, zaczynając od transportu wodnego, a kończąc na lotnictwie.
Tabela 2. Kiedy ciało tonie, a kiedy – pływa
Ciało tonie w cieczy lub gazieCiało unosi się na dowolnej głębokości w cieczy lub gazieCiało unosi się na powierzchni cieczy (częściowo zanurzone)
Ciało opada na dno naczynia, w którym znajduje się ciecz lub gaz.Ciało pływa na pewnej głębokości w cieczy lub gazie.Ciało wypływa, ale jest częściowo zanurzone w cieczy.
Siła ciężkości ma większą wartość od siły wyporu działającej na ciało.Siła ciężkości ma taką samą wartość jak siła wyporu działająca na ciało.Siła ciężkości równa jest sile wyporu.
Gęstość ciała jest większa od gęstości cieczy lub gazu.Gęstość ciała jest równa gęstości cieczy lub gazu.Gęstość ciała jest mniejsza od gęstości cieczy lub gazu.

Praca domowa

Polecenie 2.10.5.

Problem 1.
Jak zmieni się siła wyporu działająca na klocek, który pływa w cieczy i jest zanurzony do 2/3 swojej wysokości, gdy zanurzymy go całkowicie?
Problem 2.
Które ciała będą pływały, a które utoną? Aby sprawdzić gęstość substancji, wykorzystaj tablice fizyczne. Weź pod uwagę następujące przypadki:
  • miedziana płytka w rtęci;
  • bryłka węgla w glicerynie;
  • kropla wody w nafcie;
  • kropla oleju w wodzie.

Zadania

Zadanie 2.10.6.

Zadanie 2.10.7.

Zadanie 2.10.8.

Słowniczek

Biogram 

Archimedes z Syrakuz
Data urodzenia 
287 r. p.n.e.
Miejsce urodzenia 
Syrakuzy
Data śmierci 
212 r. p.n.e.
Miejsce śmierci 
Syrakuzy
Grecki fizyk, matematyk, filozof i wynalazca. W obszarze fizyki zajmował się mechaniką (maszyny proste) i hydrostatyką (prawo Archimedesa). Jako matematyk znany jest ze swoich prac w zakresie geometrii (wyznaczanie powierzchni figur płaskich). Zginął z ręki legionisty po zdobyciu Syrakuz przez legiony rzymskie (II wojna punicka).

hel (symbol chemiczny He)

– pierwiastek zaliczany do rodziny gazów szlachetnych. Gęstość helu w temperaturze pokojowej wynosi ok. ; dla porównania gęstość suchego powietrza to ok. .