Współrzędne wierzchołka paraboli

Ważne!

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ ma współrzędne $(p, q)$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ oraz $q = - \frac{Δ}{4 a}$ .
Zauważmy też, że współrzędne wierzchołka paraboli spełniają warunek $q = f (p)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka $W$ paraboli o równaniu

$y = x^{2} - 2 x + 10$
Odczytujemy $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 10$ , stąd $p = \frac{- (- 2)}{2 \cdot 1} = 1$ , a więc $q = f (1) = 1 - 2 + 10 = 9$ . Zatem $W = (1, 9)$ .
$y = - x^{2} - 4 x + 1$
Odczytujemy $a = - 1$ , $b = - 4$ , $c = 1$ , stąd $p = \frac{- (- 4)}{2 \cdot (- 1)} = - 2$ . Wtedy $q = f (- 2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ , czyli $W = (- 2, 5)$ .
$y = 2 x^{2} + 12 x + 17$
Odczytujemy $a = 2$ , $b = 12$ , $c = 17$ , stąd $p = \frac{- 12}{2 \cdot 2} = - 3$ , więc $q = f (- 3) = 18 - 36 + 17 = - 1$ , czyli $W = (- 3, - 1)$ .
$f (x) = - 3 x^{2} + 8 x - 9$
Odczytujemy $a = - 3$ , $b = 8$ , $c = - 9$ , stąd $p = \frac{- 8}{2 \cdot (- 3)} = \frac{4}{3}$ . Ponadto $Δ = 8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 9) = - 44$ , stąd $q = \frac{- (- 44)}{4 \cdot (- 3)} = - \frac{44}{12} = - \frac{11}{3}$ , czyli $W = (\frac{4}{3}, - \frac{11}{3})$ .

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji

$f (x) = x^{2} - 4 x - 7$
Odczytujemy współczynnik $a = 1$ . Ponieważ jest on dodatni, więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do góry. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $⟨q, + \infty)$ , gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku $q = - \frac{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}{4 \cdot 1} = - \frac{44}{4} = - 11$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- 11, + \infty)$ .
$f (x) = - x^{2} + 6 x - 2$
Odczytujemy, że współczynnik $a$ jest ujemny ( $a = - 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do dołu. Wobec tego zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(- \infty, q⟩$ , gdzie $q$ to druga współrzędna wierzchołka paraboli. W tym przypadku $q = - \frac{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}{4 \cdot (- 1)} = - \frac{28}{- 4} = 7$ , zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, 7⟩$ .
$f (x) = 5 x^{2} + 15 x + 1$
Ponieważ $a = 5 > 0$ oraz $q = - \frac{1 5^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}{4 \cdot 5} = - \frac{41}{4}$ , to zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨- \frac{41}{4}, + \infty)$ .
$f (x) = - 3 x^{2} + 21 x - 16$
Ponieważ $a = - 3 < 0$ oraz $q = - \frac{2 1^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}{4 \cdot (- 3)} = \frac{83}{4}$ , to zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, \frac{83}{4}⟩$ .

Przykład 3

Wyznaczymy maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca oraz maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 7$
Współczynnik $a$ jest dodatni ( $a = 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto $p = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$ . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, to $⟨2, + \infty)$ , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to $(- \infty, 2⟩$ .
$f (x) = - x^{2} + 6 x - 2$
Współczynnik $a$ jest ujemny ( $a = - 1$ ), więc wykresem funkcji $f$ jest parabola skierowana ramionami do góry. Ponadto $p = \frac{- 6}{2 \cdot (- 1)} = 3$ . Zatem maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, to $(- \infty, 3⟩$ , a maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca, to $⟨3, + \infty)$ .
$f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 8$
Ponieważ $a = 3 > 0$ oraz $p = \frac{- 5}{2 \cdot 3} = - \frac{5}{6}$ , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ rośnie, jest $⟨- \frac{5}{6}, + \infty)$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $(- \infty, - \frac{5}{6}⟩$ .
$f (x) = - 4 x^{2} - 7 x + 19$
Ponieważ $a = - 4 < 0$ oraz $p = \frac{- (- 7)}{2 \cdot (- 4)} = - \frac{7}{8}$ , więc maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ rośnie, jest $(- \infty, - \frac{7}{8}⟩$ , a maksymalnym przedziałem, w którym ta funkcja maleje, jest $⟨- \frac{7}{8}, + \infty)$ .

Przykład 4

RdrhDIqQxwwgT1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DZajTVh6M

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iHN7wgfWsq_d5e170

Ćwiczenie 1

Na każdym z poniższych rysunków przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej. Przy czym na jednym z nich jest wykres funkcji $f$ , na innym – wykres funkcji $g$ , a na jeszcze innym jest wykres funkcji $h$ . Wiadomo, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest $⟨- 2, + \infty)$ , wierzchołkiem wykresu funkcji $g$ jest punkt $(- 1, 2)$ , a osią symetrii wykresu funkcji $h$ jest prosta o równaniu $x = 1$ . Na którym rysunku jest wykres funkcji $f$ , na którym - wykres $g$ , a na którym – wykres funkcji $h$ ?

R1X1xHkAIjGQM1

Wykresy czterech różnych funkcji kwadratowych f. Pierwsza funkcja to parabola leżąca w pierwszej , drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 1). Druga funkcja to: parabola leżąca w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (1, 2). Do wykresu należy punkt (0, 3). Trzecia funkcja to: parabola leżąca w trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -3). Czwarta funkcja to: parabola leżąca w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych o wierzchołku w punkcie (-1, -2). Do wykresu należy punkt (0, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

wykres $f$ – rys. D
wykres $g$ – rys. A
wykres $h$ – rys. B

classicmobile

Ćwiczenie 2

Dana jest parabola o równaniu $y = x^{2} + 8 x - 10$ . Wówczas

RZ8TjMmlE5td4

wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $y = - 10$
wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $x = - 4$
ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu $y = - 25$
osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 8$

static

Ćwiczenie 2

Dana jest parabola o równaniu $y = x^{2} + 8 x - 10$ . Wówczas

RnsdFnHPCqSxE

wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $y = - 10$
wierzchołek tej paraboli leży na prostej o równaniu $x = - 4$
ta parabola nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu $y = - 25$
osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 8$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Prosta o równaniu $y = - 3$ ma dokładnie jeden punkt wspólny

R1Q3ObT7Y0LKU

z wykresem funkcji $f_{1} (x) = x^{2} + 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{2} (x) = x^{2} - 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{3} (x) = - x^{2} - 2 x - 4$
z wykresem funkcji $f_{4} (x) = - x^{2} + 2 x - 3$

static

Ćwiczenie 3

Prosta o równaniu $y = - 3$ ma dokładnie jeden punkt wspólny

Rae4IfypV8LSe

z wykresem funkcji $f_{1} (x) = x^{2} + 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{2} (x) = x^{2} - 2 x - 2$
z wykresem funkcji $f_{3} (x) = - x^{2} - 2 x - 4$
z wykresem funkcji $f_{4} (x) = - x^{2} + 2 x - 3$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Osią symetrii paraboli $y = - x^{2} + bx + 2$ jest prosta o równaniu $x = p$ .

R1OfaDVVeW1gp

Jeżeli $b = 2$ , to $p = 4$ .
Dla $p = 3$ współczynnik $b$ jest równy $6$ .
Dla $p = - 2$ współczynnik $b$ jest równy $- 1$ .
Jeżeli $b = p$ , to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (0, 2)$ .

static

Ćwiczenie 4

Osią symetrii paraboli $y = - x^{2} + bx + 2$ jest prosta o równaniu $x = p$ .

ROnUompU81uhQ

Jeżeli $b = 2$ , to $p = 4$ .
Dla $p = 3$ współczynnik $b$ jest równy $6$ .
Dla $p = - 2$ współczynnik $b$ jest równy $- 1$ .
Jeżeli $b = p$ , to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (0, 2)$ .

Ćwiczenie 5

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + bx + c$ . Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$ , wiedząc, że wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

$(0, 2)$
$(2, 0)$
$(1, 1)$
$(- 1, 2)$

$b = 0$ , $c = 2$
$b = - 4$ , $c = 4$
$b = - 2$ , $c = 2$
$b = 2$ , $c = 3$

Ćwiczenie 6

R7p8BlCehoPHn1

Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.

$y = {(x - 1)}^{2} + 4$
$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$
$y = - {(x - 5)}^{2} - 3$
$y = {(x + 6)}^{2} - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1JI56TClCy6K1

Połącz w pary wzór paraboli z jej wierzchołkiem.

$y = x^{2} - 2 x + 6$
$y = x^{2} + 4 x$
$y = x^{2} + 4 x + 7$
$y = - x^{2} + 4 x - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iHN7wgfWsq_d5e436

classicmobile

Ćwiczenie 8

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + bx$ jest parabola o wierzchołku $W$ . Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2N8lSYQMlVCu

Jeżeli $a = 1$ i $b = 4$ , to $W = (2, - 2)$ .
Jeżeli $a = - 1$ i $b = 6$ , to $W = (3, 9)$ .
Jeżeli $W = (1, 1)$ , to $a = - 1$ i $b = 2$ .
Jeżeli $W = (- 3, - 27)$ , to $a = 3$ i $b = 18$ .

static

Ćwiczenie 8

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + bx$ jest parabola o wierzchołku $W$ . Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R6J70kI2GFaFO

Jeżeli $a = 1$ i $b = 4$ , to $W = (2, - 2)$ .
Jeżeli $a = - 1$ i $b = 6$ , to $W = (3, 9)$ .
Jeżeli $W = (1, 1)$ , to $a = - 1$ i $b = 2$ .
Jeżeli $W = (- 3, - 27)$ , to $a = 3$ i $b = 18$ .

classicmobile

Ćwiczenie 9

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty: $A = (- 15, 35), B = (- 5, - 20), C = (5, 35)$ . Wynika z tego, że

R1QbPBgMQo6fR

$f (- 10) = f (0)$
$f (- 20) > 30$
$f (- 6) < - 30$
$f (- 7) + f (- 9) > f (- 4) + f (- 2)$

static

Ćwiczenie 9

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty: $A = (- 15, 35), B = (- 5, - 20), C = (5, 35)$ . Wynika z tego, że

Rx1czeL0P4ezQ

$f (- 10) = f (0)$
$f (- 20) > 30$
$f (- 6) < - 30$
$f (- 7) + f (- 9) > f (- 4) + f (- 2)$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Wierzchołek paraboli $y = x^{2} - 2 x + 2$ leży na prostej o równaniu

R9WhugaPMLZXD

$x = - 2$
$x = 2$
$x = - 1$
$x = 1$

static

Ćwiczenie 10

Wierzchołek paraboli $y = x^{2} - 2 x + 2$ leży na prostej o równaniu

RaPxrpS47VZLs

$x = - 2$
$x = 2$
$x = - 1$
$x = 1$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 6 x$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu

RFXGwZDCP8GIG

$y = 9$
$y = 6$
$y = 3$
$y = 0$

static

Ćwiczenie 11

Wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 6 x$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu

RZWLm52mWFxv9

$y = 9$
$y = 6$
$y = 3$
$y = 0$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt $W = (5, 5)$ .

RVELnpCNJY8HK

$y = x^{2} + 10 x + 5$
$y = x^{2} - 10 x + 15$
$y = x^{2} - 10 x + 30$
$y = x^{2} + 10 x + 55$

static

Ćwiczenie 12

Wskaż równanie paraboli, której wierzchołkiem jest punkt $W = (5, 5)$ .

R1Sfk4ZayOqCt

$y = x^{2} + 10 x + 5$
$y = x^{2} - 10 x + 15$
$y = x^{2} - 10 x + 30$
$y = x^{2} + 10 x + 55$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ jest

RLeo00vtkFCqO

$"⟨"- 1,"" ""+ \infty)$
$"⟨"2,"" ""+ \infty)$
$"⟨"4,"" ""+ \infty)$
$"⟨"5,"" ""+ \infty)$

static

Ćwiczenie 13

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ jest

ROnk0tgyRL4rq

$"⟨"- 1,"" ""+ \infty)$
$"⟨"2,"" ""+ \infty)$
$"⟨"4,"" ""+ \infty)$
$"⟨"5,"" ""+ \infty)$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} - 8 x + 2$

R4e5YL2BayR8X

nie istnieje
jest równa $2$
jest równa $18$
jest większa od $30$

static

Ćwiczenie 14

Największa wartość funkcji kwadratowej $f (x) = - x^{2} - 8 x + 2$

R9gGQ6vmFzyzA

nie istnieje
jest równa $2$
jest równa $18$
jest większa od $30$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział $⟨- 2, + \infty)$ , może być określona wzorem

R1MN8GMkePWgP

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = - {(x - 2)}^{2} + 2$
$y = {(x - 2)}^{2} + 2$

static

Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział $⟨- 2, + \infty)$ , może być określona wzorem

RKi4mAGgHpK0R

$y = - {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = {(x + 2)}^{2} - 2$
$y = - {(x - 2)}^{2} + 2$
$y = {(x - 2)}^{2} + 2$

iHN7wgfWsq_d5e826

classicmobile

Ćwiczenie 16

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ .

R1COociyRuvPx

static

Ćwiczenie 16

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ .

Ry1yKmaxbqb8y

classicmobile

Ćwiczenie 17

Prosta $x = 3$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + bx$ . Wtedy prawdziwa jest równość

R1U4JJ8wbnX2m

$f (0) = f (- 3)$
$f (0) = f (1)$
$f (0) = f (4)$
$f (0) = f (6)$

static

Ćwiczenie 17

Prosta $x = 3$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + bx$ . Wtedy prawdziwa jest równość

R1763gnQHzYSn

$f (0) = f (- 3)$
$f (0) = f (1)$
$f (0) = f (4)$
$f (0) = f (6)$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Wierzchołkiem paraboli o równaniu $y = x^{2} + bx + c$ jest punkt $W = (- 2, 3)$ . Wtedy

R16hyvb91pn9o

$b = - 2, c = 3$
$b = - 4, c = 3$
$b = 2, c = 7$
$b = 4, c = 7$

static

Ćwiczenie 18

Wierzchołkiem paraboli o równaniu $y = x^{2} + bx + c$ jest punkt $W = (- 2, 3)$ . Wtedy

RlQyglhwBH4ws

$b = - 2, c = 3$
$b = - 4, c = 3$
$b = 2, c = 7$
$b = 4, c = 7$

classicmobile

Ćwiczenie 19

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = x^{2} - 2 mx + 4$ . Można wskazać taką wartość $m$ , aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział

R16xEB2MlUeBX

$"⟨"3"", + \infty)$
$"⟨"5"", + \infty)$
$"⟨"6"", + \infty)$
$"⟨"10"", + \infty)$

static

Ćwiczenie 19

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f (x) = x^{2} - 2 mx + 4$ . Można wskazać taką wartość $m$ , aby zbiorem wartości tej funkcji był przedział

RYNTwJVJP0U4o

$"⟨"3"", + \infty)$
$"⟨"5"", + \infty)$
$"⟨"6"", + \infty)$
$"⟨"10"", + \infty)$

Ćwiczenie 20

Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową $f$ , określoną wzorem ogólnym

$f (x) = 2 x^{2} - 5$
$f (x) = - 3 x^{2} + 4$
$f (x) = x^{2} + x + \frac{1}{4}$
$f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 3 \frac{1}{8}$

$f (x) = 2 x^{2} - 5$
$f (x) = - 3 x^{2} + 4$
$f (x) = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$
$f (x) = - 2 {(x - \frac{5}{4})}^{2}$

Ćwiczenie 21

Zapisz w postaci kanonicznej funkcję kwadratową $f$ , określoną wzorem ogólnym

$f (x) = 5 x^{2} + 30 x + 31$
$f (x) = 2 x^{2} - 4 x - 1$
$f (x) = - 3 x^{2} - x + 6$
$f (x) = - 4 x^{2} + 14 x - 7$

$f (x) = 5 {(x + 3)}^{2} - 14$
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$
$f (x) = - 3 {(x + \frac{1}{6})}^{2} + 6 \frac{1}{12}$
$f (x) = - 4 {(x - \frac{7}{4})}^{2} + 5 \frac{1}{4}$

iHN7wgfWsq_d5e1109

Ćwiczenie 22

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , której wykresem jest parabola o wierzchołku $W$ , przecinająca oś $Oy$ w punkcie $P$ .

$W = (2, 0), P = (0, 5)$
$W = (- 1, 1), P = (0, - 2)$
$W = (- 2, - 3), P = (0, 1)$
$W = (4, 6), P = (0, - 2)$

$f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2}$
$f (x) = - 3 {(x + 1)}^{2} + 1$
$f (x) = {(x + 2)}^{2} - 3$
$f (x) = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 6$

Ćwiczenie 23

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

Rxo5BEYvNR9rj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MPtvffusl4W1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RpDwNJezn1Naz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R4zURkwSjt3Gt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcO6yTxx51MFB1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RopCYo1Nolxfo1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1$
$f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 2$
$f (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3$
$f (x) = - {(x + 2)}^{2} + 2$
$f (x) = - 3 {(x - 1)}^{2} + 3$
$f (x) = - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 2$

Ćwiczenie 24

Zapisz w postaci kanonicznej wzór funkcji kwadratowej $f$ , wiedząc, że na jej wykresie leżą punkty $A, B, C$ .

$A = (- 1, 3), B = (0, 1)$ i $C = (1, 3)$
$A = (0, - 5), B = (- 3, 4)$ i $C = (- 6, - 5)$

$f (x) = 2 x^{2} + 1$
$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + 4$

Ćwiczenie 25

Podaj zbiór wartości funkcji określonej wzorem

$f (x) = 2 + {(1 - x)}^{2}$
$f (x) = 5 - {(- 3 + x)}^{2}$
$f (x) = {(3 x - 1)}^{2} - 9$
$f (x) = - {(2 x + 5)}^{2} + 7$

$⟨2, + \infty)$
$(- \infty, 5⟩$
$⟨- 9, + \infty)$
$(- \infty, 7⟩$

Ćwiczenie 26

Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej $f$ .

$f (x) = x^{2} + 12 x$
$f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5$
$f (x) = - x^{2} + 2 x - 5$
$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$

$⟨- 36, + \infty)$
$⟨2, + \infty)$
$(- \infty, - 4⟩$
$(- \infty, 5⟩$

Ćwiczenie 27

Podaj maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ rośnie.

$f (x) = 3 - {(x - 2)}^{2}$
$f (x) = 11 + {(1 - x)}^{2}$
$f (x) = {(2 x - 6)}^{2} - 7$
$f (x) = - {(3 x + 15)}^{2} + 8$

$(- \infty, 2⟩$
$⟨1, + \infty)$
$⟨3, + \infty)$
$(- \infty, - 5⟩$

Ćwiczenie 28

Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ maleje.

$f (x) = x^{2} - 5 x$
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 5$
$f (x) = - x^{2} - 4 x + 7$
$f (x) = - 3 x^{2} + 8 x - 1$

$(- \infty, 2 \frac{1}{2}⟩$
$(- \infty, - \frac{3}{4}⟩$
$⟨- 2, + \infty)$
$⟨1 \frac{1}{3}, + \infty)$

Ćwiczenie 29

Wykres $y = x^{2} - 2 x + 3$ funkcji kwadratowej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu $y = m$ . Oblicz $m$ .

$m = 2$

Ćwiczenie 30

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f (x) = - x^{2} - 6 x + c$ . Wyznacz wartość $c$ , tak aby parabola będąca wykresem tej funkcji miała dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu $y = - 5$ .

$c = - 14$

Ćwiczenie 31

Prosta $x = - 3$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f (x) = x^{2} + 6 kx + k - 4$ . Ustal wartość $k$ i wyznacz współrzędne wierzchołka $W$ tej paraboli.

$k = 1$ , $W = (- 3, - 12)$

Ćwiczenie 32

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - x^{2} + 4 x + c$ jest przedział $(- \infty, 5⟩$ . Wyznacz wartość $c$ .

$c = 1$

Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Współrzędne wierzchołka paraboli

Współrzędne wierzchołka paraboli