Ri2mwkSO8AqPK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąt foremny

Definicja: Wielokąt foremny

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

RaVNhDhBqWW5N1

Rysunek ośmiokąta foremnego o bokach a oraz kątach wewnętrznych alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

imiHFXvYdD_d5e131

Trójkąt foremny

Ważne!

Trójkąt równoboczny jest wielokątem, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.
Jest on przykładem wielokąta foremnego.

Przykład 1

Zauważmy, że środki okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym pokrywają się. Środek okręgu wpisanego (opisanego) leży w punkcie przecięcia wysokości trójkąta.
Tylko w trójkącie równobocznym punkt przecięcia się symetralnych oraz dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości.
Punkt przecięcia dzieli taki odcinek w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka trójkąta.
Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Re0ZrtUW5L5kF1

Rysunek okręgu wpisanego (o promieniu r) i opisanego (o promieniu R) na trójkącie równobocznym. Środki okręgów leżą w jednym punkcie. R = 2r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czworokąt foremny

Zapamiętaj!

Czworokąt, który jest wielokątem foremnym to kwadrat.
Na kwadracie można opisać okrąg i w kwadrat można wpisać okrąg.

RjGaPMoXl7xwU1

Rysunek okręgu wpisanego (o promieniu r) i opisanego (o promieniu R) na kwadracie o boku a i przekątnej d. r =0,5a, R =0,5d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu.
Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości jego przekątnej.

Przykład 2

Narysuj na kartce kwadrat

zaznacz jego przekątne,
wytnij ten kwadrat,
odrysuj go na kartce,
połóż wycięty kwadrat tak, aby pokrywał rysunek,
obróć wycięty kwadrat o $45 °$ wokół punktu przecięcia przekątnych,
obrysuj figurę, która powstała z kwadratu narysowanego i wyciętego.

Jak myślisz, czy powstały wielokąt jest wielokątem foremnym?

imiHFXvYdD_d5e275

Pięciokąt foremny

Następny wielokąt foremny to pięciokąt foremny.

RvBuL1JhC4bBM1

Rysunek pięciokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielu wybitnych matematyków poszukiwało najprostszych sposobów konstrukcji tego wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki. Poniżej przedstawiona jest jedna z najbardziej znanych konstrukcji. Spróbuj wykonać ją w zeszycie.

R1a2Zq74uFqPB1

Przykład 3

Obliczymy miary kątów pięciokąta.
W tym celu dzielimy go na trójkąty równoramienne.

R1Sn7IRMmvTNc1

Rysunek pięciokąta foremnego podzielonego na pięć trójkątów równoramiennych. W trójkącie kąt przy podstawie ma miarę beta, kąt między ramionami miarę alfa. Kąt gamma to kąt wewnętrzny pięciokąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt miedzy równymi ramionami każdego z tych trójkątów to piąta część kąta $360 °$ .

α = \frac{1}{5} ∙ 360 ° = 72 °

Zatem kąt przy podstawie trójkąta:

β = \frac{180 ° - 72 °}{2} = 54 °

Kąt pięciokąta jest dwukrotnie większy od kąta $β$

γ = 2 ∙ 54 ° = 108 °

Każdy kąt pięciokąta foremnego ma więc miarę $108 °$ .

imiHFXvYdD_d5e371

Sześciokąt foremny

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym każdy z kątów ma miarę $60 °$ . Możemy więc takie trójkąty ułożyć w ten sposób, aby miały jeden punkt wspólny tak, jak na rysunku.

R1RHkjoZ7df6Y1

Rysunki ilustrują sześć kroków powstania sześciokąta foremnego z trójkątów równobocznych. Na pierwszym rysunku dany jest jeden trójkąt równoboczny, na drugim łączymy go bokiem z drugim trójkątem, na trzecim dołączamy trzeci trójkąt, … Na szóstym rysunku jest sześciokąt zbudowany z sześciu połączonych bokami trójkątów równobocznych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstanie wtedy sześciokąt o równych bokach. Każdy kąt tego wielokąta ma miarę

2 ∙ 60 ° = 120 °

Jest to więc wielokąt foremny. Nazywamy go sześciokątem foremnym.
Zauważmy, że długość boku sześciokąta jest równa połowie dłuższej przekątnej.

Przykład 4

Sześciokąt foremny można skonstruować, dzieląc okrąg na równe części.
Opis konstrukcji

Rysujemy okrąg $M$ o promieniu $a$ .
Na okręgu zaznaczamy dowolny punkt $A$ .
Z punktu $A$ wykreślamy okrąg o promieniu $a$ (wystarczy narysować łuk tego okręgu).
Punkt przecięcia okręgów oznaczamy $B$ .
Z punktu $B$ wykreślamy okrąg o promieniu $a$ .
Punkt przecięcia okręgów (różny od punktu $A$ ) oznaczamy $C$ .
Postępujemy w podobny sposób, aż do uzyskania punktów $D$ , $E$ , $F$ leżących na okręgu $M$ .
Łączymy kolejne punkty odcinkami.
Otrzymany wielokąt $ABCDEF$ jest szukanym sześciokątem foremnym.

Otrzymany sześciokąt jest wpisany w okrąg (każdy z jego wierzchołków leży na okręgu).

R167rseKJqaNm1

Siedmiokąt foremny

Siedmiokąt można narysować, wykorzystując konstrukcję $neusis$ , co oznacza po grecku „dopasowanie”.

RbkpYfF75H8by1

Rysunek siedmiokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Siedmiokąt foremny jest przykładem wielokąta foremnego, którego nie można skonstruować za pomocą tylko linijki i cyrkla. Udowodnił to wybitny niemiecki matematyk Karol Gauss $(1777 - 1855)$ , który tym samym położył kres wielowiekowym wysiłkom matematyków, próbujących znaleźć taką konstrukcję.

RJ0wc7wvLsc7V1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dmzes0vyA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Uwaga!

Własności wielokąta foremnego:

wszystkie boki równe
wszystkie kąty równe
można na nim opisać okrąg
można weń wpisać okrąg
środki okręgu wpisanego i opisanego pokrywają się
przekątne nie muszą być równe

Wielokąty gwiaździste

Wykorzystując niektóre wielokąty foremne, można budować wielokąty, zwane gwiaździstymi.
Najpopularniejszym z nich jest pięciokąt gwiaździsty znany od czasów starożytnych pod nazwą pentagramu. Rysunek pentagramu był znakiem rozpoznawczym uczniów Pitagorasa.

Przykład 5

Na bazie siedmiokąta można wykreślić siedmiokąt gwiaździsty zwany z greckiego heptagramem.

R1AtlAvd6q5jA1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dmzes0vyA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Tworząc formy gwiaździste, kreślimy przekątne wielokąta, omijając za każdym razem tę samą liczbę wierzchołków. Inną gwiazdę otrzymamy, gdy będziemy omijać dwa wierzchołki, inną, gdy trzy.

RMekUxg2H5L7C1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dmzes0vyA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 6

Zastanówmy się, czy wielokąty foremne są figurami środkowosymetrycznymi. Sprawdzimy to za pomocą komputera.
Przesuwając punkty odpowiednio $P_{1}$ , $P_{2}$ ,… po bokach wielokątów, obserwujmy zmianę położenia punktów $P_{1} ’$ , $P_{2} ’$ ,…. Punkty $P_{1} ’$ , $P_{2} ’$ ,… leżą w tej samej odległości od punktów $S_{1}$ , $S_{2}$ … co punkty $P_{1}$ , $P_{2}$ ,…

RUyDVuHeZFmT31

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dmzes0vyA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie wierzchołków.

Ćwiczenie 1

Znajdź miary kątów siedmiokąta foremnego i oblicz sumę miar tych kątów.

Suma miar wynosi $900 °$ .
Kąt wewnętrzny ma miarę około $128 °$ .

Ciekawostka

Większość ciał stałych ma budowę krystaliczną. Charakteryzuje się ona regularnym ułożeniem atomów, które tworzą tzw. siatkę krystaliczną. Bardzo często atomy w krysztale ułożone są w wierzchołkach wielokątów foremnych, a te z kolei tworzą struktury mające kształt brył nazywanych wielościanami foremnymi.

imiHFXvYdD_d5e551

Ćwiczenie 2

Które spośród wielokątów na rysunku to wielokąty foremne?

RstPQUsyG7SUE1

Rysunki: A – kwadrat, B – trójkąt równoboczny, C – pięcioramienna gwiazda, D – pięciokąt o bokach równej długości, E – strzałka, F – prostokąt. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty foremne przedstawione są na rysunku $A$ , $B$ i $D$ .

Ćwiczenie 3

Skonstruuj kwadrat

o boku długości $4 cm$
którego obwód jest równy $20 cm$
którego przekątna ma długość $4 cm$

Ćwiczenie 4

Odpowiedz na pytania.

Czy wielokąty foremne są osiowosymetryczne?
Ile osi symetrii ma trójkąt równoboczny?
Ile osi symetrii ma kwadrat? A pięciokąt foremny?
Ile osi symetrii ma $n$ -kąt foremny?

Skonstruuj sześciokąt foremny.
Wykorzystując konstrukcję sześciokąta foremnego, skonstruuj dwunastokąt foremny.

tak
$3$
kwadrat – $4$ , pięciokąt foremny – $5$
$n$

Wykorzystaj konstrukcję sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg.

Ćwiczenie 5

Zapisz ile przekątnych ma

kwadrat
pięciokąt foremny
sześciokąt foremny
$n$ -kąt foremny

$2$
$5$
$9$
$\frac{n (n - 3)}{2}$

Ćwiczenie 6

Bok sześciokąta foremnego ma długość $6 cm$ .

Oblicz obwód tego sześciokąta.
Uzasadnij, że każda z przekątnych tego sześciokąta ma długość nie większą od $12 cm$ .
Oblicz sumę kątów tego sześciokąta.
Jak znaleźć środek okręgu wpisanego w ten sześciokąt?
Czy wykorzystując ten sześciokąt, można zbudować wielokąt gwiaździsty? Jeśli tak – narysuj go.

$36 cm$
Najdłuższa przekątna jest równa sumie długości dwóch boków.
$720 °$
Środek okręgu wpisanego w sześciokąt foremny znajduje się w punkcie przecięcia najdłuższych przekątnych.
Tak, narysuj wszystkie krótsze przekątne.

Ćwiczenie 7

Określ ile boków ma wielokąt foremny, którego miara kąta jest równa

$60 °$
$90 °$
$120 °$
$150 °$

$3$
$4$
$6$
$12$

Ćwiczenie 8

Na kwadracie można opisać okrąg. Czy to jedyny czworokąt, na którym można opisać okrąg? Narysuj inne czworokąty, na których można opisać okrąg.

Nie, czworokąt możemy wpisać w okrąg, jeżeli suma jego przeciwległych kątów jest równa $180 °$ .

Ćwiczenie 9

Narysuj sześciokąt foremny o boku $3 cm$ i opisz na nim okrąg.

imiHFXvYdD_d5e804

Ćwiczenie 10

Ile form gwiaździstych ma jedenastokąt i trzynastokąt foremny? Które z tych form można wykreślić jednym pociągnięciem ołówka?

Wskazówka. Jedenastokąt ma $4$ formy gwiaździste foremne, a trzynastokąt ma $5$ form gwiaździstych foremnych.

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R2EgV6oFnx18H

Wielokąt, który ma wszystkie boki równe jest wielokątem foremnym.
Wielokąt, który ma wszystkie kąty równe jest wielokątem foremnym.
Czworokąt foremny ma środek symetrii.
Sześciokąt foremny ma środek symetrii.

static

Ćwiczenie 12

Suma kątów wielokąta foremnego jest równa $720 °,$ a jego obwód $24 cm .$ Oblicz długość jego boku.

$4 cm$

Ćwiczenie 13

Narysuj kwadrat. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać czworokąt. Czy otrzymany czworokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

Ćwiczenie 14

Narysuj kwadrat. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać ośmiokąt. Czy otrzymany ośmiokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

Ćwiczenie 15

Narysuj trójkąt równoboczny. Zaznacz środki jego boków. Połącz zaznaczone punkty tak, aby otrzymać trójkąt. Czy otrzymany trójkąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

Ćwiczenie 16

Narysuj trójkąt równoboczny. Podziel każdy z jego boków na trzy równe części. Połącz punkty podziału tak, aby otrzymać sześciokąt. Czy otrzymany sześciokąt jest wielokątem foremnym? Dlaczego?

Ćwiczenie 17

Wysokość w trójkącie równobocznym ma długość $6 cm$ . Jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten trójkąt? A opisanego na tym trójkącie?

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość $2 cm$ , a okręgu opisanego $4 cm$ .

Ćwiczenie 18

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy $5 dm$ . Jaką długość ma promień okręgu opisanego na tym trójkącie? Jaką długość ma wysokość tego trójkąta?

Promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość $10 dm$ , a wysokość $15 dm$ .

Ćwiczenie 19

Promień okręgu wpisanego w kwadrat ma długość $10 mm$ . Oblicz pole i obwód kwadratu.

Pole kwadratu wynosi $400 {mm}^{2}$ , obwód $-$ $80 mm$ .

Ćwiczenie 20

Promień okręgu opisanego na kwadracie ma długość $8 mm$ . Oblicz pole kwadratu.

$128 {mm}^{2}$

Ćwiczenie 21

Zapoznaj się z metodami konstrukcji wielokąta przy pomocy cyrkla i linijki.

Figury środkowosymetryczne

Liczby wymierne. Wartość bezwzględna

Wielokąty foremne

Trójkąt foremny

Czworokąt foremny

Pięciokąt foremny

Sześciokąt foremny

Siedmiokąt foremny

Wielokąty gwiaździste