3.4. Prędkość, droga i czas

Wokół nas poruszają się zarówno ludzie, jak i zwierzęta, rzeczy czy pojazdy. Ruch jest zjawiskiem powszechnym. Opisując ruch używamy trzech pojęć: drogi, prędkości i czasu.
Prędkość, droga i czas to ważne pojęcia, z którymi spotykamy się nie tylko na matematyce, ale także na przyrodzie, fizyce i biologii.

Prędkość

W rzeczywistości obiekty poruszają się z różną prędkością. Na przykład samochód musi czasami zwolnić, a czasami może przyspieszyć. Dlatego mówiąc o prędkości mamy na myśli średnią prędkość.
Na przykład, jeśli samochód w czasie godzin przejechał drogę , to znaczy, że w czasie godziny przejechał kilometrów. Mówimy, że jego średnia prędkość wynosiła kilometrów na godzinę.
Zapisujemy to krótko: lub .
Gdy wiemy, jaką drogę i w jakim czasie pokonał dany obiekt, możemy obliczyć z jaką prędkością się poruszał.

Przykład 3.4.1.

Kierowca w ciągu godzin przejechał odległość . Obliczmy, z jaką średnią prędkością się poruszał.
Kierowca pokonał w czasie godzin, zatem w ciągu godziny pokonał .
To oznacza, że poruszał się ze średnia prędkością .
Obliczenia możemy zapisać krótko:
Odpowiedź: Kierowca poruszał się ze średnią prędkością .

Przykład 3.4.2.

Pieszy przeszedł w ciągu pół godziny. Z jaką średnią prędkością się poruszał?
  • sposób
    Odpowiedź: Pieszy poruszał się ze średnią prędkością .
  • sposób
Obliczenia można wykonać w innych jednostkach.
Odpowiedź: Prędkość pieszego wynosiła .

Zadanie 3.4.1.Poziom trudności:A

Zadanie 3.4.2.Poziom trudności:B

Przykład 3.4.3.

Słoń porusza się w biegu z prędkością . Z jaką prędkością, wyrażoną w kilometrach na godzinę, porusza się wówczas słoń?
Odpowiedź: Słoń porusza się z prędkością .
Z powyższych obliczeń możemy także wywnioskować, że prędkość słonia wynosiła , a także czy .

Droga

Jeżeli znamy prędkość poruszającego się np. pojazdu, to możemy obliczyć, jaka drogę pokona ten pojazd w określonym czasie.

Zadanie 3.4.3.Poziom trudności:A

Zadanie 3.4.4.Poziom trudności:A

Zadanie 3.4.5.Poziom trudności:A

Zadanie 3.4.6.Poziom trudności:A

Czas

Zadanie 3.4.7.Poziom trudności:A

Gdy wiemy, jaką drogę i z jaką prędkością poruszał się jakiś, to możemy obliczyć czas tego ruchu.

Przykład 3.4.4.

Pewien samochód przejechał ze średnią prędkością . Obliczmy, ile czasu trwała ta podróż.
Skoro samochód poruszał się z prędkością , to znaczy, że przejechał w czasie .
Odpowiedź: Podróż trwała .

Zadanie 3.4.8.Poziom trudności:A

Zadanie 3.4.9.Poziom trudności:B

Oblicz czas i uzupełnij zdania.
  1. a)
    Pociąg jadąc ze stałą prędkością przebył drogę . Podróż trwała … minut.
  2. b)
    Samolot lecąc z prędkością pokonał odległość . Podróż trwała … minut.
  3. c)
    Pieszy szedł z prędkością i pokonał dystans . Pieszy szedł … minut.
  4. d)
    Koń cwałując z prędkością pokonał drogę . Cwał konia trwał … sekund.
Odpowiedź
  1. a)
     
  2. b)
     
  3. c)
     
  4. d)
     

Prędkość, droga i czas – zadania różne

Zadanie 3.4.10.Poziom trudności:A

Samochód zużywa benzyny na trasie . Oblicz, ile km przejedzie samochód z tą samą prędkością zużywając .
Odpowiedź
Samochód przejedzie .

Zadanie 3.4.11.Poziom trudności:A

Odległość między Adamowem i Piotrkowem jest równa . Oblicz, z jaką średnią prędkością jedzie pociąg, jeżeli z Adamowa wyjeżdża o godzinie , a w Piotrkowie jest o godzinie .
Odpowiedź
Pociąg jedzie z prędkością .

Zadanie 3.4.12.Poziom trudności:B

Kierowca przejechał drogę z Kazimierza do miasta Łańcuta w ciągu godzin, a drogę powrotną w czasie o minut krótszym. Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
PrawdaFałsz
Nie można stwierdzić, w którą stronę jechał szybciej, gdyż nie znamy odległości między miastami.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta wolniej niż z powrotem.
Kierowca jechał z Kazimierza do Łańcuta szybciej niż z powrotem.
Kierowca jechał w obie strony z taką samą prędkością.

Doganianie, oddalanie, spotykanie

Obserwując, czy rozważając ruch, dostrzegamy również takie sytuacje jak: wymijanie, doganianie, spotykanie i oddalenie się obiektów.

Przykład 3.4.5.

Maja zauważa Sonię z odległości i zaczyna ją gonić. Sonia ucieka z prędkością , a Maja goni ją z prędkością . Po jakim czasie Maja dogoni Sonię?
W ciągu sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o

Ponieważ

więc Maja dogoni Sonię w ciągu .

Zadanie 3.4.13.Poziom trudności:B

Krzyś goni Kubę. Krzyś biegnie z prędkością , a Kuba ucieka przed nim z prędkością . Po jakim czasie Krzyś dogoni Kubę, jeśli początkowo byli oddaleni od siebie o .
Odpowiedź
Krzyś dogoni Kubę po .

Zadanie 3.4.14.Poziom trudności:C

Wilk zobaczył zająca w odległości i zaczął go gonić z prędkością . W tym samym czasie zając zobaczył wilka i zaczął uciekać z prędkością . Do bezpiecznej nory zając miał . Ile sekund brakowało wilkowi, żeby złapać zająca?
Odpowiedź
Wilkowi brakowało .

Przykład 3.4.6.

Oliwia i Julka zobaczyły się z odległości . Uradowane zaczęły biec naprzeciw siebie, Oliwia z prędkością , a Julka . Po jakim czasie dziewczynki spotkały się (dobiegły do siebie)?
W ciągu sekundy odległość między dziewczynkami zmniejsza się o

Ponieważ

więc dziewczynki spotkają się po .

Zadanie 3.4.15.Poziom trudności:B

Kamil i Tomek zaczęli biec naprzeciw siebie z odległości . Kamil biegł z prędkością , a Kuba z prędkością . Po jakim czasie chłopcy się spotkali?
Odpowiedź
Chłopcy spotkali się po .

Przykład 3.4.7.

Andrzej i Jola rozstają się. Zaczynają biec i oddalać się od siebie w przeciwnych kierunkach, wzdłuż tej samej ulicy. Andrzej biegnie z prędkością , a Jola z prędkością . Po ilu sekundach znajdą się od siebie w odległości ?
W ciągu sekundy odległość między nimi zwiększa się o

Ponieważ

więc oddalą się na odległość po .

Zadanie 3.4.16.Poziom trudności:B

Dwa pociągi ruszyły jednocześnie z tej samej stacji, ale w przeciwnych kierunkach. Jaka będzie odległość między nimi po godzinach, jeśli jeden pociąg jedzie z prędkością , a drugi z prędkością ?
Odpowiedź
Po godzinach pociągi będą oddalone o .

Zadanie 3.4.17.Poziom trudności:C

Pociąg jechał przez godziny z prędkością , a następnie przez godziny z prędkością . Oblicz, z jaką średnią prędkością ten pociąg pokonał całą trasę.
Odpowiedź
Pociąg jechał ze średnią prędkością .
Oblicz najpierw ile kilometrów łącznie przejechał pociąg i ile czasu łącznie jechał.

Zadanie 3.4.18.Poziom trudności:C

Marcin przez godzinę szedł szybko, z prędkością , ale zmęczył się i przez następne pół godziny szedł z prędkością . Ostanie pół godziny Marcin szedł bardzo wolno z prędkością .
Z jaką średnią prędkością przeszedł Marcin całą swoją drogę?
Odpowiedź
Marcin przeszedł drogę ze średnią prędkością .