Nierówność liniowa

Przykład 1

Ustalimy, w jakim przedziale funkcja liniowa $f (x) = 2 x - 4$ przyjmuje wartości dodatnie.
W tym celu należy rozwiązać nierówność $f (x) > 0$ , czyli wyznaczyć wszystkie wartości $x$ , dla których $2 x - 4 > 0$ .
Przekształcamy nierówność równoważnie

2 x - 4 > 0

2 x > 4

x > 2 .

Funkcja $f (x) = 2 x - 4$ przyjmuje wartości dodatnie dla $x$ należących do przedziału $(2, + \infty)$ .

Przykład 2

Znajdziemy największą liczbę całkowitą, dla której funkcja $f (x) = - 3 x + 5$ przyjmuje wartość dodatnią.
Rozwiązujemy nierówność $f (x) > 0$

- 3 x + 5 > 0

- 3 x > - 5 / : (- 3) .

x < \frac{5}{3}

x < 1 \frac{2}{3} .

A zatem $x = 1$ jest największą liczbą całkowitą, dla której funkcja $f (x) = - 3 x + 5$ przyjmuje wartość dodatnią.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność ${(x - 5)}^{2} > {(x - 3)}^{2}$ .
Przekształcamy równoważnie daną nierówność, stosując wzory skróconego mnożenia

x^{2} - 10 x + 25 > x^{2} - 6 x + 9

- 4 x > - 16 / : (- 4)

x < 4 .

Rozwiązaniem nierówności jest więc każda liczba rzeczywista należąca do przedziału $(- \infty, 4)$ .

Przykład 4

Znajdziemy najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , która spełnia nierówność $\frac{5}{3} - \frac{x - 5}{2} < \frac{4 x + 7}{6}$ .
Przekształcamy równoważnie daną nierówność

\frac{5}{3} - \frac{x - 5}{2} < \frac{4 x + 7}{6} / ∙ 6

10 - 3 (x - 5) < 4 x + 7

10 - 3 x + 15 < 4 x + 7

- 7 x < - 18 / : (- 7)

x > \frac{18}{7}

x > 2 \frac{4}{7}

A zatem $x = 3$ jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność.

RA8158Hg1JtBA1

RUUuTKh7OmzvD1

Równanie liniowe

Zadania