Zadania. Część II

Ćwiczenie 1

Cztery liczby całkowite pozostają w stosunku $5$ : $7$ : $11$ : $26$ . Suma dwóch skrajnych liczb jest równa $713$ . Jakie to liczby?

$115, 161, 253, 598$

Przyjmijmy, że pierwsza z tych liczb to $5 x$ . Wtedy druga to $7 x$ , trzecia to $11 x$ , a czwarta to $26 x$ . Suma pierwszej i czwartej liczby to $713$ , więc otrzymujemy równanie

5 x + 26 x = 713

31 x = 713

x = 23 .

Wobec tego $5 x = 115$ , $7 x = 161$ , $11 x = 253$ oraz $26 x = 598$ .

Ćwiczenie 2

Suma siedemnastu kolejnych liczb naturalnych jest równa $544$ . Znajdź dziewiątą z tych liczb.

$32$

Oznaczamy przez $n$ dziewiątą z kolei liczbę naturalną spośród tych siedemnastu.
Wtedy liczby od pierwszej do ósmej to

n - 8, n - 7, n - 6, n - 5, n - 4, n - 3, n - 2, n - 1,

a liczby od dziesiątej do siedemnastej to

n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8 .

Zauważmy, że sumę tych siedemnastu liczb możemy zapisać jako

\begin{array}{l} n + (n - 8 + n + 8) + (n - 7 + n + 7) + (n - 6 + n + 6) + (n - 5 + n + 5) + (n - 4 + n + 4) + (n - 3 + n + 3) + \\ + (n - 2 + n + 2) + (n - 1 + n + 1) = n + 8 \cdot 2 n = 17 n \end{array}

Otrzymujemy więc równanie

17 n = 544

n = 32 .

Zatem dziewiąta z tych liczb to $32$ .

Ćwiczenie 3

Z miejscowości $A$ i $B$ oddalonych od siebie o $90 km$ wyjechali w tym samym momencie naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z $A$ do $B$ jechał ze średnią prędkością o $25 %$ większą niż średnia prędkość drugiego rowerzysty. Po dwóch godzinach jazdy rowerzyści spotkali się w miejscowości $C$ . O ile kilometrów oddalone są od siebie miejscowości $A$ i $C$ ?

$50 km$

Oznaczamy przez $V$ prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $B$ (w kilometrach na godzinę). Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $A$ była równa $\frac{5}{4} V$ . Zatem w ciągu dwóch godzin pierwszy rowerzysta (jadący z miejscowości $A$ ) pokonał drogę równą $2 \cdot \frac{5}{4} V = \frac{5}{2} V$ , a drugi – drogę $2 V$ .
Otrzymujemy równanie

\frac{5}{2} V + 2 V = 90

\frac{9}{2} V = 90

V = 20 .

Prędkość rowerzysty jadącego z miejscowości $B$ była więc równa $20 km / h$ , a rowerzysty jadącego z miejscowości $A$ była równa $\frac{5}{4} \cdot 20 = 25 km / h$ .
Rowerzysta jadący z $A$ po dwóch godzinach dojechał do $C$ , zatem z $A$ do $C$ jest $2 \cdot 25 = 50 km$ .

Ćwiczenie 4

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej jest równa $11$ . Po zamianie cyfr miejscami otrzymujemy liczbę większą od danej. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe o tej własności.

$29, 38, 47, 56$

Oznaczamy przez $x$ cyfrę dziesiątek tej liczby dwucyfrowej, wtedy jej cyfrą jedności jest $11 - x$ . Zatem ta liczba dwucyfrowa to $10 x + (11 - x) = 9 x + 11$ , a liczba powstała po zamianie cyfr to

10 (11 - x) + x = 110 - 9 x .

Liczba dwucyfrowa jest mniejsza od liczby powstałej po zamianie cyfr, otrzymujemy więc nierówność

9 x + 11 < 110 - 9 x

18 x < 99

x < 5 \frac{1}{2} .

Wobec tego cyfrą dziesiątek może być $5$ , $4$ , $3$ , $2$ lub $1$ . Dla $x = 1$ otrzymujemy sprzeczność (wtedy $11 - x = 10 > 9)$ , więc są cztery liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania: $56$ , 47, $38$ oraz $29$ .
Uwaga. Jest tylko osiem liczb dwucyfrowych, których suma cyfr jest równa $11$ – są to liczby: $29$ , $38$ , $47$ , $56$ , $65$ , $74$ , $83$ , $92$ . Zapisując dla każdej z nich liczbę otrzymaną po zamianie cyfr, znajdziemy rozwiązanie zadania bez układania równania.

Ćwiczenie 5

W sobotę o $9^{00}$ grupa znajomych wyjechała na wycieczkę rowerową z Piotrkowa do Inowłodza. Mieli do pokonania $54 km$ . Jeden z uczestników spóźnił się i z miejsca zbiórki wyjechał o $9^{20}$ . Z jaką średnią prędkością musi jechać ten spóźnialski, żeby dogonić grupę zanim dojedzie do Inowłodza, jeśli grupa jedzie ze średnią prędkością $18 km / h$ ?

$V > 20,25 km / h$

Grupa znajomych jedzie z prędkością $18 km / h$ i ma do przejechania $54 km$ , więc pokona tę drogę w czasie $\frac{54}{18} = 3$ godzin. To znaczy, że grupa dojedzie do Inowłodza o godzinie $12^{00}$ .
Oznaczmy średnią prędkość spóźnialskiego przez $x$ (w kilometrach na godzinę). Żeby spóźnialski dogonił grupę, zanim dojedzie ona do Inowłodza, musi pokonać $54$ kilometry w czasie krótszym niż $2$ godziny $40$ minut.
Otrzymujemy więc nierówność

2 \frac{40}{60} \cdot x > 54

\frac{8}{3} \cdot x > 54

x > \frac{54 \cdot 3}{8}

x > \frac{81}{4} = 20 \frac{1}{4} .

Zatem, aby dogonić grupę, zanim dojedzie do Inowłodza, spóźnialski rowerzysta musi jechać ze średnią prędkością większą niż $20,25 km / h$ .

Ćwiczenie 6

Cyfrą dziesiątek pewnej liczby trzycyfrowej jest $5$ , a suma wszystkich jej cyfr jest równa $17$ . Jeżeli cyfry setek i dziesiątek zamienimy miejscami, to otrzymamy liczbę o $90$ większą od danej liczby. Znajdź tę liczbę trzycyfrową.

$458$

Oznaczamy przez $x$ cyfrę setek tej liczby. Wtedy jej cyfrą jedności jest $17 - 5 - x = 12 - x$ . Zatem ta liczba trzycyfrowa to $100 x + 50 + 12 - x = 99 x + 62$ , a po zamianie cyfr otrzymujemy liczbę

500 + 10 x + 12 - x = 9 x + 512 .

Otrzymujemy więc równanie

99 x + 62 + 90 = 9 x + 512

90 x = 360

x = 4 .

Stąd cyfra setek szukanej liczby to $4$ , jej cyfra jedności to $12 - 4 = 8$ , a szukana liczba trzycyfrowa to $458$ .

Ćwiczenie 7

Dwaj bracia Janek i Franek zaplanowali, że w sobotę odwiedzą babcię. Babcia chłopców mieszka w odległości $20 km$ od ich domu. Janek wyszedł z domu o godzinie $6^{00}$ i szedł do babci z prędkością $5 km / h$ . Franek wyjechał z domu do babci o $7^{48}$ na rowerze i dogonił Janka po $36$ minutach jazdy. Obaj chłopcy kontynuowali podróż, nie zmieniając prędkości.
O której godzinie Franek przyjechał do babci?

O godzinie $8^{48}$ .

Zauważmy, że Janek szedł z prędkością $5 km / h$ przez $2$ godziny i $24$ minuty do miejsca, w którym Franek go dogonił. Pokonał więc drogę długości

2 \frac{24}{60} \cdot 5 = \frac{12}{5} \cdot 5 = 12 km .

Franek pokonał te $12 km$ , jadąc na rowerze przez $36$ minut, zatem jego prędkość była równa

\frac{12}{\frac{36}{60}} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20 \frac{km}{h} .

Zatem $20 km$ drogi z domu do babci Franek pokonał przez godzinę. Skoro wyjechał o godzinie $7^{48}$ , to u babci będzie o godzinie $8^{48}$ .

Ćwiczenie 8

Kwotę $970 zł$ wypłacono banknotami o nominałach $20 zł$ , $50 zł$ i $100 zł$ . Ile było banknotów każdej wartości, jeżeli banknotów stuzłotowych było $2$ razy więcej niż pięćdziesiątek, a dwudziestek o $2$ więcej niż pięćdziesiątek i setek razem?

setek było $6$
pięćdziesiątki były $3$
dwudziestek było $11$

Oznaczamy przez $x$ liczbę banknotów o nominale $50 zł$ , wtedy banknotów o nominale $100 zł$ było $2 x$ , a banknotów o nominale $20 zł$ było $x + 2 x + 2$ , czyli $3 x + 2$ .
Otrzymujemy równanie

2 x \cdot 100 + x \cdot 50 + (3 x + 2) \cdot 20 = 970

200 x + 50 x + 60 x + 40 = 970

310 x = 930

x = 3 .

Zatem były $3$ banknoty o nominale $50 zł$ , sześć banknotów o nominale $100 zł$ i jedenaście banknotów o nominale $20 zł$ .

Ćwiczenie 9

Jeśli do pewnej liczby trzycyfrowej dopiszemy na końcu cyfrę $9$ , to otrzymamy liczbę o $4257$ większą od danej. Jaka to liczba?

$472$

Oznaczmy daną liczbę trzycyfrową przez x. Wtedy po dopisaniu do niej na końcu (z prawej strony) cyfry $9$ otrzymamy liczbę $10 x + 9$ .
Otrzymujemy równanie

10 x + 9 = x + 4257

9 x = 4248

x = 472 .

Szukaną liczbą jest więc $472$ .

Ćwiczenie 10

Ile wody trzeba odparować z $3 kg$ wodnego roztworu soli kuchennej o stężeniu $5 %$ , żeby otrzymać roztwór o stężeniu $12 %$ ?

$1,75 kg$

W $3 kg$ roztworu o stężeniu $5 %$ soli jest $\frac{5}{100} \cdot 3 = 0, 15 kg$ .
Oznaczmy przez $x$ masę wody, którą należy odparować, aby otrzymać roztwór o stężeniu $12 %$ . Po odparowaniu masa roztworu zmniejszy się o $x kg$ , a masa soli pozostanie bez zmian.
Otrzymujemy równanie

\frac{0,15}{3 - x} = \frac{12}{100}

12 (3 - x) = 100 \cdot 0,15

36 - 12 x = 15

12 x = 21

x = \frac{7}{4} .

Zatem należy odparować $1,75 kg$ wody.

Ćwiczenie 11

Bilet na pewne przedstawienie kosztował odpowiednio $20 zł$ dla dorosłych i $12 zł$ dla dzieci. Po potrąceniu $18 %$ kwoty uzyskanej ze sprzedaży biletów na koszty związane z wynajęciem sali, organizatorzy uzyskali $2624 zł$ dochodu. Ilu dorosłych i ile dzieci było na tym przedstawieniu, jeżeli wiadomo, że sprzedano $222$ bilety?

$67$ dorosłych, $155$ dzieci

Oznaczmy przez $x$ liczbę dzieci uczestniczących w przedstawieniu. Wtedy liczba dorosłych to $222 - x$ , wartość biletów zakupionych przez dzieci to $12 x$ , a wartość biletów zakupionych przez dorosłych to $20 (222 - x)$ . Łącznie za bilety zapłacono $12 x + 20 (222 - x)$ , czyli $4440 - 8 x$ .
Otrzymujemy równanie

82 % \cdot (4440 - 8 x) = 2624

4440 - 8 x = 3200

8 x = 4440 - 3200

8 x = 1240

x = 155 .

Wobec tego na przedstawieniu było $155$ dzieci i $67$ dorosłych.

Ćwiczenie 12

Osiemnaście lat temu dziadek Marka był trzy razy starszy od taty Marka, a obecnie dziadek jest dwa razy starszy od taty Marka. Ile lat ma dziadek Marka, a ile jego tata?

Dziadek ma $72$ lata, tata ma $36$ lat

Oznaczmy aktualny wiek taty Marka przez $x$ , wtedy aktualny wiek dziadka Marka to $2 x$ .
Otrzymujemy równanie

2 x - 18 = 3 (x - 18)

2 x - 18 = 3 x - 54

x = 36 .

To znaczy, ze tata Marka ma $36$ lat, a dziadek Marka $72$ lata.

Ćwiczenie 13

Ile gramów złota próby $0,680$ należy stopić z $10 g$ złota próby $0,960$ , aby otrzymać złoto próby $0,750$ ?

$30$ gramów

Oznaczmy przez $x$ masę złota próby $0,680$ (w gramach). Wtedy stop ma masę $10 + x$ gramów i zawiera $0,68 \cdot x + 0,96 \cdot 10$ gramów złota.
Otrzymujemy równanie

\frac{0,68 \cdot x + 0,96 \cdot 10}{10 + x} = 0,75

\frac{68}{100} x + \frac{96}{10} = \frac{75}{100} (x + 10)

68 x + 960 = 75 x + 750

7 x = 210

x = 30 .

Zatem do stopu należy użyć $30$ gramów złota próby $0,680$ .

Ćwiczenie 14

W pierwszym naczyniu znajduje się $12 %$ roztwór wodny soli, w drugim – roztwór wodny soli o stężeniu $16 %$ . Do trzeciego, początkowo pustego naczynia przelano pewną ilość roztworu z pierwszego naczynia, po czym dolano tyle roztworu z drugiego naczynia, że w trzecim naczyniu otrzymano $4 kg$ roztworu o stężeniu $15 %$ . Ile kg roztworu z drugiego naczynia dolano do trzeciego naczynia?

$3 kg$

Oznaczmy przez $x$ masę drugiego (szesnastoprocentowego) roztworu przelanego do trzeciego naczynia. Wtedy roztworu dwunastoprocentowego dolano tam $4 - x$ kilogamów.
Otrzymujemy więc równanie

16 % \cdot x + 12 % \cdot (4 - x) = 15 % \cdot 4

16 \cdot x + 12 \cdot (4 - x) = 15 \cdot 4

16 x + 48 - 12 x = 60

4 x = 12

x = 3 .

To znaczy, że dolano $3 kg$ drugiego roztworu.

Ćwiczenie 15

W zakładzie poligraficznym do produkcji kopert bąbelkowych używane są dwa różne automaty, które przez $10$ minut pracy wytwarzają razem $2700$ kopert. Gdyby pierwszy automat pracował przez $12$ minut, a drugi przez $15$ minut, to wyprodukowałyby tę samą liczbę kopert. Ile czasu potrzebuje każdy z tych automatów, żeby wyprodukować $600$ kopert?

I automat – $4$ minuty
II automat – $5$ minut

Oznaczmy przez $x$ liczbę kopert, które przez minutę wytwarza pierwszy automat, przez $y$ - liczbę kopert, które przez minutę wytwarza drugi automat.
Otrzymujemy układ równań

\{\begin{array}{l} 10 (x + y) = 2700 \\ 12 x = 15 y \end{array}

\{\begin{array}{l} x + y = 270 \\ x = \frac{5}{4} y \end{array}

\{\begin{array}{l} \frac{5}{4} y + y = 270 \\ x = \frac{5}{4} y \end{array}

\{\begin{array}{l} y = 270 \cdot \frac{4}{9} \\ x = \frac{5}{4} y \end{array}

\{\begin{array}{l} y = 120 \\ x = 150 \end{array} .

Wynika stąd, że

I automat wytwarza $150$ kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie $600$ kopert potrzebuje $4$ minut,
II automat wytwarza $120$ kopert w ciągu minuty, więc na wyprodukowanie $600$ kopert potrzebuje $5$ minut.

Ćwiczenie 16

Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które po skreśleniu ostatniej cyfry zmniejszają się o $650$ .

$722$

Dla szukanej liczby trzycyfrowej wprowadzamy oznaczenia

$x$ – cyfra jedności,
$y$ – liczba dwucyfrowa otrzymana po skreśleniu cyfry jedności.

Wtedy szukana liczba trzycyfrowa to $10 y + x$ .
Otrzymujemy równanie

10 y + x = y + 650

9 y + x = 650 .

Zauważmy, że

liczba $x$ może przyjmować jedną z wartości: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,$
liczba $650$ – $x$ jest podzielna przez $9$ .

Ponieważ $650 = 72 \cdot 9 + 2$ , to $x = 2$ , wtedy $y = 72$ , czyli szukana liczba trzycyfrowa to $722$ .

Zadania. Część I

Wprowadzenie do trygonometrii