W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej
R1NhwQt45irzA1
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej c.
Dowód
RvKOejl119lWC1
Animacja prezentuje dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b oraz przeciwprostokątnej c. Przedłużając przyprostokątne a i b budujemy kwadrat o boku a +b. Jednocześnie budujemy kwadrat oparty na przeciwprostokątnej c. Okazuje się, że jest on wpisany w kwadrat o bokach długości a +b. Kwadrat o boku a +b składa się z kwadratu o bok c oraz 4 trójkątów prostokątnych. Po obliczeniu pól każdej z figur zauważamy, że c do potęgi drugiej jest równe a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej. Pole kwadratu opartego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól dwóch kwadratów opartych na przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego.
Animacja prezentuje dowód twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a, b oraz przeciwprostokątnej c. Przedłużając przyprostokątne a i b budujemy kwadrat o boku a +b. Jednocześnie budujemy kwadrat oparty na przeciwprostokątnej c. Okazuje się, że jest on wpisany w kwadrat o bokach długości a +b. Kwadrat o boku a +b składa się z kwadratu o bok c oraz 4 trójkątów prostokątnych. Po obliczeniu pól każdej z figur zauważamy, że c do potęgi drugiej jest równe a do potęgi drugiej plus b do potęgi drugiej. Pole kwadratu opartego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól dwóch kwadratów opartych na przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego.
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa.
odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia Pitagorasa
Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.
Przykład 1
Sprawdź, czy trójkąt o bokach i jest trójkątem prostokątnym. Jeżeli trójkąt będzie prostokątny, to przeciwprostokątną będzie najdłuższy z boków. Obliczmy kwadraty długości boków. , , i zauważmy, że
Zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym.
Związki miarowe wynikające z twierdzenia Pitagorasa
R1UMQR0yyM2nq1
Rysunek kwadratu o boku długości a, którego przekątna ma długość a pierwiastek z dwóch. Przekątna podzieliła kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach ostrych równych 45 stopni.
Przekątna w kwadracie o boku ma długość
Zatem w trójkącie równoramiennym prostokątnym długości boków pozostają w zależności.
R1RCPWo4Ki3C61
Rysunek trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych długości a i przeciwprostokątnej a pierwiastek z dwóch. Kąty przy podstawie mają miarę 45 stopni.
Rozważmy teraz trójkąt równoboczny o boku . Jego wysokość liczymy w następujący sposób
Pole trójkąta równobocznego o boku jest więc równe
RDdjd6XZtQ8bv1
Rysunek trójkąta równobocznego o boku długości a i wysokości równej a razy pierwiastek z trzech dzielone przez dwa. Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach 30 stopni,, 60 stopni, 90 stopni, którego przyprostokątne mają długość a dzielone przez dwa i a razy pierwiastek z trzech dzielone przez dwa, przeciwprostokątna ma długość a.
Oznaczmy przez najkrótszy z boków trójkąta prostokątnego, w którym kąty ostre mają miary i . Wtedy długości boków tego trójkąta są równe . O takim trójkącie mówi się czasami, że jest to „trójkąt piękny”.
RaH1oNb2YqJP81
Rysunek trójkąta prostokątnego o kątach 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni. Przyprostokątna długości x leży naprzeciw kąta 30 stopni. Przyprostokątna długości x pierwiastek z trzech leży naprzeciw kąta 60 stopni. Przeciwprostokątna ma długość równą 2x.
